Номер 355, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 1. Первообразная - номер 355, страница 144.

Условие.

355. Для функции $f(x)$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M$:

1) $f(x) = x^2$, $M(1; 2);$

2) $f(x) = x$, $M(-1; 3);$

3) $f(x) = \frac{1}{x}$, $M(1; -1);$

4) $f(x) = \sqrt{x}$, $M(9; 10).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы найти первообразную функции $f(x)$, график которой проходит через заданную точку $M(x_0; y_0)$, нужно выполнить следующие шаги:
1. Найти общий вид первообразной $F(x) = \int f(x)dx + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
2. Подставить координаты точки $M$ в уравнение первообразной, то есть решить уравнение $F(x_0) = y_0$ относительно $C$.
3. Записать итоговую первообразную с найденным значением $C$.

1) $f(x) = x^2, M(1; 2)$

Сначала находим общий вид первообразной для функции $f(x) = x^2$. Используем формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C$.

Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(1; 2)$. Это означает, что при $x=1$ значение $F(x)$ должно быть равно $2$, то есть $F(1) = 2$.

Подставляем значения в найденную формулу: $F(1) = \frac{1^3}{3} + C = 2$.

Решаем уравнение относительно $C$: $\frac{1}{3} + C = 2$
$C = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$.

Подставляем найденное значение $C$ в общую формулу первообразной.
Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{5}{3}$.

2) $f(x) = x, M(-1; 3)$

Находим общий вид первообразной для $f(x) = x = x^1$.

$F(x) = \int x^1 dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C$.

График первообразной проходит через точку $M(-1; 3)$, следовательно $F(-1) = 3$.

Подставляем значения: $F(-1) = \frac{(-1)^2}{2} + C = 3$.

Решаем уравнение относительно $C$: $\frac{1}{2} + C = 3$
$C = 3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

Искомая первообразная имеет вид:
Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{5}{2}$.

3) $f(x) = \frac{1}{x}, M(1; -1)$

Находим общий вид первообразной для $f(x) = \frac{1}{x}$. Первообразная для этой функции — натуральный логарифм.

$F(x) = \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.

График первообразной проходит через точку $M(1; -1)$, следовательно $F(1) = -1$.

Подставляем значения: $F(1) = \ln|1| + C = -1$.

Так как $\ln(1) = 0$, получаем: $0 + C = -1$
$C = -1$.

Таким образом, искомая первообразная:
Ответ: $F(x) = \ln|x| - 1$.

4) $f(x) = \sqrt{x}, M(9; 10)$

Находим общий вид первообразной для $f(x) = \sqrt{x}$. Представим функцию в виде $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$.

$F(x) = \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$.

График первообразной проходит через точку $M(9; 10)$, следовательно $F(9) = 10$.

Подставляем значения: $F(9) = \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} + C = 10$.

Вычислим значение $9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$.
$\frac{2}{3} \cdot 27 + C = 10$
$2 \cdot 9 + C = 10$
$18 + C = 10$.

Решаем уравнение относительно $C$: $C = 10 - 18 = -8$.

Искомая первообразная имеет вид:
Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 8$.