Номер 18, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Вопросы к главе III - номер 18, страница 138.

Условие.

18. При каком условии прямая $y = kx + b$ является асимптотой графика функции $y = f(x)$ при $x \to +\infty$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Прямая $y = kx + b$ является асимптотой графика функции $y = f(x)$ при $x \to +\infty$, если по определению расстояние между графиком функции и этой прямой стремится к нулю при неограниченном возрастании $x$. Математически это условие записывается как равенство нулю предела разности их ординат: $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (kx + b)] = 0$.

Это основное условие является необходимым и достаточным. Оно выполняется тогда и только тогда, когда существуют и являются конечными числами следующие два предела, которые последовательно определяют коэффициенты $k$ и $b$ для уравнения асимптоты:

1. Предел для нахождения углового коэффициента асимптоты $k$:
$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$

2. Предел для нахождения свободного члена (сдвига по оси ординат) $b$:
$b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - kx)$

Если оба этих предела существуют и конечны, то прямая $y = kx + b$ является наклонной асимптотой (или горизонтальной, если $k=0$). Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, то наклонной асимптоты при $x \to +\infty$ у графика функции нет.

Ответ: Прямая $y=kx+b$ является асимптотой графика функции $y=f(x)$ при $x \to +\infty$ при условии, что существуют и являются конечными числами следующие два предела:
$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$
$b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - kx)$