Номер 15, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 15, страница 138.

Условие.

15. Дать определение точке перегиба функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Точка перегиба – это точка на графике непрерывной функции, в которой меняется направление её выпуклости. Геометрически это означает, что в этой точке касательная к графику "пронизывает" его, а сама кривая переходит с одной стороны касательной на другую.

Более строго, точка с абсциссой $x_0$ является точкой перегиба для функции $f(x)$, если выполняются следующие условия:

1. Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$.
2. В точке $x_0$ у графика функции существует касательная (конечная или вертикальная).
3. При переходе через точку $x_0$ функция меняет направление выпуклости. То есть существует такая окрестность $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$, что на одном из интервалов, $(x_0 - \delta, x_0)$ или $(x_0, x_0 + \delta)$, функция является выпуклой вверх (вогнутой), а на другом — выпуклой вниз (выпуклой).

Направление выпуклости функции на интервале связано со знаком её второй производной $f''(x)$:

• Если $f''(x) > 0$ на интервале, то график функции на этом интервале выпуклый вниз (вогнутый).
• Если $f''(x) < 0$ на интервале, то график функции на этом интервале выпуклый вверх (выпуклый).

Поскольку в точке перегиба $x_0$ происходит смена направления выпуклости, это означает, что вторая производная $f''(x)$ должна менять знак при переходе через $x_0$.

Необходимое условие перегиба:
Если функция $f(x)$ дважды дифференцируема в точке $x_0$ и эта точка является точкой перегиба, то её вторая производная в этой точке равна нулю: $f''(x_0) = 0$.

Примечание: Условие $f''(x_0) = 0$ не является достаточным. Кроме того, перегиб может быть и в точке, где вторая производная не существует. Точки, в которых $f''(x) = 0$ или $f''(x)$ не существует, называются критическими точками второго рода и являются "кандидатами" на перегиб.

Достаточное условие перегиба:
Если функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, и её вторая производная $f''(x)$ при переходе через точку $x_0$ меняет знак, то $x_0$ — точка перегиба функции $f(x)$.

Ответ: Точка перегиба графика функции — это точка, отделяющая участок выпуклости графика от участка вогнутости. Формально, это точка $x_0$, в которой функция непрерывна и ее вторая производная $f''(x)$ меняет знак. Если вторая производная в этой точке существует, то она обязательно равна нулю ($f''(x_0)=0$).