Номер 418, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 2. Правило произведения. Размещения с повторениями - номер 418, страница 175.

Условие.

418. Десять участников конференции обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому). Сколько всего рукопожатий было сделано?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы решить эту задачу, необходимо найти общее количество уникальных рукопожатий. Каждое рукопожатие происходит между двумя участниками. Поскольку рукопожатие между участником А и участником Б — это то же самое событие, что и рукопожатие между Б и А, порядок в паре не имеет значения. Следовательно, нам нужно найти число сочетаний из 10 участников по 2.

Рассмотрим решение задачи двумя способами.

Способ 1: Логический подсчет

Можно посчитать количество рукопожатий для каждого участника последовательно, избегая повторений:

• Первый участник пожимает руку остальным 9 участникам. Это 9 рукопожатий.
• Второй участник уже пожал руку первому, поэтому ему остается пожать руки остальным 8 участникам. Это 8 новых рукопожатий.
• Третий участник уже обменялся рукопожатиями с первым и вторым, поэтому он пожимает руки оставшимся 7 участникам. Это 7 новых рукопожатий.
• ...
• Девятый участник пожимает руку только последнему, десятому участнику, так как со всеми остальными он уже обменялся рукопожатиями. Это 1 новое рукопожатие.
• Десятый участник к этому моменту уже пожмет руки всем.

Общее число рукопожатий будет равно сумме арифметической прогрессии:$N = 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45$

Способ 2: Использование формулы из комбинаторики

Задачу можно свести к выбору 2 участников из 10 без учета порядка. Для этого используется формула числа сочетаний:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$где $n$ — общее количество элементов (участников), а $k$ — количество элементов в одной группе (для рукопожатия $k=2$).

В нашем случае $n = 10$ и $k = 2$. Подставляем значения в формулу:$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!}$

Расписываем факториалы и сокращаем:$C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \cdot 1 \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$

Оба способа дают одинаковый результат. Всего было сделано 45 рукопожатий.

Ответ: 45