Номер 419, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 2. Правило произведения. Размещения с повторениями - номер 419, страница 175.

Условие.

419. Сколько различных шифров можно набрать в автоматической камере хранения, если шифр составляется с помощью любой из тридцати букв русского алфавита с последующим трёхзначным числовым кодом?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи воспользуемся основным правилом комбинаторики — правилом умножения. Шифр состоит из двух независимых частей: одной буквы и одного трёхзначного числового кода. Общее количество возможных шифров равно произведению количества вариантов для каждой из этих частей.

1. Определим количество вариантов для буквенной части шифра.

По условию задачи, для первой части шифра можно выбрать любую из 30 букв русского алфавита. Таким образом, у нас есть $30$ вариантов для выбора буквы.

2. Определим количество вариантов для числовой части шифра.

Трёхзначный числовой код представляет собой последовательность из трёх цифр. Каждая из трёх позиций в коде может быть заполнена любой цифрой от 0 до 9. Всего у нас есть 10 цифр: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

• Для первой цифры кода есть 10 возможных вариантов.
• Для второй цифры кода также 10 возможных вариантов.
• Для третьей цифры кода также 10 возможных вариантов.

Поскольку выбор каждой цифры не зависит от выбора остальных, общее количество возможных трёхзначных кодов равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$N_{число} = 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$

Это соответствует всем возможным кодам от 000 до 999.

3. Найдём общее количество различных шифров.

Теперь, используя правило умножения, мы можем найти общее количество уникальных шифров, перемножив количество вариантов для буквенной и числовой частей:

$N_{общ} = (\text{количество вариантов букв}) \times (\text{количество вариантов числового кода})$

$N_{общ} = 30 \times 1000 = 30000$

Таким образом, можно составить 30 000 различных шифров.

Ответ: 30000