Номер 425, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 3. Перестановки - номер 425, страница 177.

Условие.

425. Сколько пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы:

1) последней была цифра 4;

2) первой была цифра 2, а второй — цифра 3;

3) первыми были цифры 2 и 3, расположенные в любом порядке.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Задача заключается в подсчете количества пятизначных чисел, составленных из пяти различных цифр {1, 2, 3, 4, 5} без повторений, при выполнении определенных условий. Такие числа являются перестановками данных пяти цифр.

1) последней была цифра 4;

Если последняя, пятая, цифра числа фиксирована и равна 4, то ее позиция определена: _ _ _ _ 4.
Остальные четыре позиции нужно заполнить оставшимися четырьмя цифрами: {1, 2, 3, 5}. Количество способов расставить 4 различных элемента на 4-х местах равно числу перестановок из 4 элементов, которое обозначается как $P_4$ и вычисляется по формуле $n!$.
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Таким образом, существует 24 числа, удовлетворяющих данному условию.

Ответ: 24.

2) первой была цифра 2, а второй — цифра 3;

В этом случае первые две цифры числа фиксированы: 2 3 _ _ _.
Для заполнения оставшихся трех позиций у нас есть три неиспользованные цифры: {1, 4, 5}. Количество способов расставить 3 различные цифры на 3-х местах равно числу перестановок из 3 элементов, $P_3$.
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Следовательно, можно составить 6 таких чисел.

Ответ: 6.

3) первыми были цифры 2 и 3, расположенные в любом порядке.

Это условие означает, что число может начинаться либо с "23", либо с "32". Эти два случая являются взаимоисключающими, поэтому мы можем рассчитать количество вариантов для каждого и сложить их.

Случай 1: Число начинается с "23". Как мы выяснили в пункте 2, количество таких чисел равно $3! = 6$.

Случай 2: Число начинается с "32". Аналогично, первые две позиции заняты, а оставшиеся три позиции можно заполнить оставшимися тремя цифрами {1, 4, 5} $3! = 6$ способами.

Общее количество чисел равно сумме вариантов для обоих случаев: $6 + 6 = 12$.

Альтернативный способ решения: количество способов расставить цифры 2 и 3 на первых двух позициях равно $P_2 = 2! = 2$. Для каждого из этих двух вариантов расположения первых двух цифр, оставшиеся три цифры можно расставить на оставшихся трех местах $P_3 = 3! = 6$ способами. По правилу произведения, общее количество таких чисел равно:
$N = P_2 \times P_3 = 2! \times 3! = 2 \times 6 = 12$.

Ответ: 12.