Страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

422. Найти значение:

1) $P_6$;

2) $P_8$;

3) $P_7$;

4) $P_9$.

В данной задаче требуется найти значение числа перестановок $P_n$ для различных значений $n$. Число перестановок из $n$ элементов — это количество способов, которыми можно упорядочить (расположить в ряд) эти элементы. Оно вычисляется по формуле n-факториал:
$P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

1) P₆
Найдем значение для $n=6$.
$P_6 = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$
Ответ: 720.

2) P₈
Найдем значение для $n=8$.
$P_8 = 8! = 8 \cdot 7 \cdot 6!$
Используя значение $6! = 720$, вычисленное в первом пункте:
$P_8 = 8 \cdot 7 \cdot 720 = 56 \cdot 720 = 40320$
Ответ: 40320.

3) P₇
Найдем значение для $n=7$.
$P_7 = 7! = 7 \cdot 6!$
Используя значение $6! = 720$ из первого пункта:
$P_7 = 7 \cdot 720 = 5040$
Ответ: 5040.

4) P₉
Найдем значение для $n=9$.
$P_9 = 9! = 9 \cdot 8!$
Используя значение $8! = 40320$ из второго пункта:
$P_9 = 9 \cdot 40320 = 362880$
Ответ: 362880.

423. Сколькими способами можно рассадить четверых детей на четырёх стульях в столовой детского сада?

Данная задача является классической задачей на перестановки из области комбинаторики. Нам нужно определить количество способов, которыми можно упорядочить 4 различных объекта (детей) на 4 позициях (стульях).

Давайте рассуждать пошагово:

• Для первого стула мы можем выбрать любого из четырех детей. Следовательно, у нас есть 4 варианта.
• Когда один ребенок уже сидит, для второго стула остается 3 ребенка. Значит, есть 3 варианта.
• Для третьего стула у нас остается выбор из двух детей, то есть 2 варианта.
• Наконец, для четвертого стула остается только один ребенок, что дает нам 1 вариант.

Чтобы найти общее количество способов, необходимо перемножить число вариантов на каждом шаге. Это называется правилом произведения в комбинаторике.

Общее количество способов = $4 \times 3 \times 2 \times 1$.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ называется факториалом числа $n$ и обозначается как $n!$. В нашем случае мы ищем число перестановок из 4 элементов, что равно $4!$.

Вычислим значение:$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Таким образом, существует 24 способа рассадить четырех детей на четырех стульях.
Ответ: 24

424. Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день среди семи учащихся группы в течение 7 дней (каждый должен от дежурить один раз)?

Данная задача сводится к нахождению числа перестановок из 7 элементов, поскольку необходимо распределить 7 разных студентов по 7 разным дням для дежурства, причем каждый студент должен дежурить только один раз.

Рассуждаем следующим образом:

• На первый день (например, понедельник) можно выбрать любого из 7 студентов.
• После того как студент на первый день выбран, на второй день остается 6 кандидатов.
• На третий день можно выбрать дежурного из оставшихся 5 студентов.
• И так далее, пока на седьмой, последний день, не останется только один студент, у которого нет другого выбора, кроме как дежурить в этот день.

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить число вариантов для каждого дня. Это является классической задачей на перестановки. Количество перестановок из $n$ элементов обозначается $P_n$ и вычисляется по формуле:
$P_n = n!$

В нашем случае количество студентов и дней равно 7, то есть $n=7$. Вычислим количество способов:
$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

Таким образом, существует 5040 способов установить дежурство.

Ответ: 5040

425. Сколько пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы:

1) последней была цифра 4;

2) первой была цифра 2, а второй — цифра 3;

3) первыми были цифры 2 и 3, расположенные в любом порядке.

Задача заключается в подсчете количества пятизначных чисел, составленных из пяти различных цифр {1, 2, 3, 4, 5} без повторений, при выполнении определенных условий. Такие числа являются перестановками данных пяти цифр.

1) последней была цифра 4;

Если последняя, пятая, цифра числа фиксирована и равна 4, то ее позиция определена: _ _ _ _ 4.
Остальные четыре позиции нужно заполнить оставшимися четырьмя цифрами: {1, 2, 3, 5}. Количество способов расставить 4 различных элемента на 4-х местах равно числу перестановок из 4 элементов, которое обозначается как $P_4$ и вычисляется по формуле $n!$.
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Таким образом, существует 24 числа, удовлетворяющих данному условию.

Ответ: 24.

2) первой была цифра 2, а второй — цифра 3;

В этом случае первые две цифры числа фиксированы: 2 3 _ _ _.
Для заполнения оставшихся трех позиций у нас есть три неиспользованные цифры: {1, 4, 5}. Количество способов расставить 3 различные цифры на 3-х местах равно числу перестановок из 3 элементов, $P_3$.
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Следовательно, можно составить 6 таких чисел.

Ответ: 6.

3) первыми были цифры 2 и 3, расположенные в любом порядке.

Это условие означает, что число может начинаться либо с "23", либо с "32". Эти два случая являются взаимоисключающими, поэтому мы можем рассчитать количество вариантов для каждого и сложить их.

Случай 1: Число начинается с "23". Как мы выяснили в пункте 2, количество таких чисел равно $3! = 6$.

Случай 2: Число начинается с "32". Аналогично, первые две позиции заняты, а оставшиеся три позиции можно заполнить оставшимися тремя цифрами {1, 4, 5} $3! = 6$ способами.

Общее количество чисел равно сумме вариантов для обоих случаев: $6 + 6 = 12$.

Альтернативный способ решения: количество способов расставить цифры 2 и 3 на первых двух позициях равно $P_2 = 2! = 2$. Для каждого из этих двух вариантов расположения первых двух цифр, оставшиеся три цифры можно расставить на оставшихся трех местах $P_3 = 3! = 6$ способами. По правилу произведения, общее количество таких чисел равно:
$N = P_2 \times P_3 = 2! \times 3! = 2 \times 6 = 12$.

Ответ: 12.

426. Упростить форму записи выражений ($k$ — натуральное число, $k > 5$):

1) $7! \cdot 8$;

2) $16 \cdot 15!$;

3) $12! \cdot 13 \cdot 14$;

4) $k! \cdot (k + 1)$;

5) $(k - 1)! \cdot k$;

6) $(k - 1)! \cdot k(k + 1)$;

7) $(k - 2)! \cdot (k - 1)k$;

8) $(k - 5)! \cdot (k^2 - 7k + 12)$.

1) Используем основное свойство факториала: $n! = n \cdot (n-1)!$. В данном выражении $7! \cdot 8$ мы видим произведение факториала числа $7$ и следующего за ним натурального числа $8$. Это в точности соответствует определению факториала для числа $8$: $8! = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7) \cdot 8 = 7! \cdot 8$.
Ответ: $8!$

2) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство $n! = n \cdot (n-1)!$. Выражение $16 \cdot 15!$ является произведением числа $16$ и факториала предыдущего числа $15$. Это соответствует определению факториала для числа $16$: $16! = 16 \cdot (16-1)! = 16 \cdot 15!$.
Ответ: $16!$

3) Применим свойство факториала последовательно. Сначала рассмотрим произведение $12! \cdot 13$. По определению, $13! = 13 \cdot 12!$. Таким образом, наше выражение можно переписать как $(12! \cdot 13) \cdot 14 = 13! \cdot 14$. Применяя свойство еще раз для $13! \cdot 14$, получаем $14!$.
Ответ: $14!$

4) Это обобщенный случай первого примера. По определению факториала, $(k+1)!$ есть произведение всех натуральных чисел от 1 до $k+1$. Его можно записать как $(k+1)! = (1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k) \cdot (k+1)$. Поскольку $k! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k$, то мы получаем: $k! \cdot (k+1) = (k+1)!$. Условие $k>5$ гарантирует, что $k$ является натуральным числом, для которого определен факториал.
Ответ: $(k+1)!$

5) Это прямое применение определения факториала для числа $k$. По определению, $k!$ есть произведение всех натуральных чисел от 1 до $k$. Его можно записать как $k! = (1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot (k-1)) \cdot k$. Поскольку $(k-1)! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot (k-1)$, то мы получаем: $(k-1)! \cdot k = k!$. Условие $k>5$ гарантирует, что $k-1 > 0$, и $(k-1)!$ определен.
Ответ: $k!$

6) В этом выражении мы можем последовательно применить свойство факториала. Сначала сгруппируем первые два множителя: $((k-1)! \cdot k) \cdot (k+1)$. Как мы показали в пункте 5, $(k-1)! \cdot k = k!$. Тогда выражение принимает вид $k! \cdot (k+1)$. Как мы показали в пункте 4, $k! \cdot (k+1) = (k+1)!$. Таким образом, $(k-1)! \cdot k \cdot (k+1) = (k+1)!$.
Ответ: $(k+1)!$

7) Решение аналогично предыдущему пункту. Сгруппируем первые два множителя: $((k-2)! \cdot (k-1)) \cdot k$. По определению факториала, $(k-2)! \cdot (k-1) = (k-1)!$. Условие $k>5$ гарантирует, что $k-2>0$. Тогда выражение принимает вид $(k-1)! \cdot k$. Как мы показали в пункте 5, $(k-1)! \cdot k = k!$. Таким образом, $(k-2)! \cdot (k-1) \cdot k = k!$.
Ответ: $k!$

8) Для упрощения этого выражения сначала разложим на множители квадратный трехчлен $k^2 - 7k + 12$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $k^2 - 7k + 12 = 0$. Используя теорему Виета, сумма корней $k_1 + k_2 = 7$, а их произведение $k_1 \cdot k_2 = 12$. Корнями являются числа $k_1 = 3$ и $k_2 = 4$. Тогда квадратный трехчлен раскладывается на множители: $k^2 - 7k + 12 = (k-3)(k-4)$. Подставим это в исходное выражение: $(k-5)! \cdot (k-4) \cdot (k-3)$. Теперь последовательно применяем свойство факториала. Условие $k>5$ гарантирует, что все факториалы определены. $(k-5)! \cdot (k-4) = (k-4)!$. Выражение становится $(k-4)! \cdot (k-3)$. Применив свойство еще раз, получаем $(k-4)! \cdot (k-3) = (k-3)!$.
Ответ: $(k-3)!$