Номер 424, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 3. Перестановки. Глава 5. Комбинаторика - номер 424, страница 177.

Условие.

424. Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день среди семи учащихся группы в течение 7 дней (каждый должен от дежурить один раз)?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данная задача сводится к нахождению числа перестановок из 7 элементов, поскольку необходимо распределить 7 разных студентов по 7 разным дням для дежурства, причем каждый студент должен дежурить только один раз.

Рассуждаем следующим образом:

• На первый день (например, понедельник) можно выбрать любого из 7 студентов.
• После того как студент на первый день выбран, на второй день остается 6 кандидатов.
• На третий день можно выбрать дежурного из оставшихся 5 студентов.
• И так далее, пока на седьмой, последний день, не останется только один студент, у которого нет другого выбора, кроме как дежурить в этот день.

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить число вариантов для каждого дня. Это является классической задачей на перестановки. Количество перестановок из $n$ элементов обозначается $P_n$ и вычисляется по формуле:
$P_n = n!$

В нашем случае количество студентов и дней равно 7, то есть $n=7$. Вычислим количество способов:
$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

Таким образом, существует 5040 способов установить дежурство.

Ответ: 5040