Номер 426, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 3. Перестановки. Глава 5. Комбинаторика - номер 426, страница 177.

Условие.

426. Упростить форму записи выражений ($k$ — натуральное число, $k > 5$):

1) $7! \cdot 8$;

2) $16 \cdot 15!$;

3) $12! \cdot 13 \cdot 14$;

4) $k! \cdot (k + 1)$;

5) $(k - 1)! \cdot k$;

6) $(k - 1)! \cdot k(k + 1)$;

7) $(k - 2)! \cdot (k - 1)k$;

8) $(k - 5)! \cdot (k^2 - 7k + 12)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Используем основное свойство факториала: $n! = n \cdot (n-1)!$. В данном выражении $7! \cdot 8$ мы видим произведение факториала числа $7$ и следующего за ним натурального числа $8$. Это в точности соответствует определению факториала для числа $8$: $8! = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7) \cdot 8 = 7! \cdot 8$.
Ответ: $8!$

2) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство $n! = n \cdot (n-1)!$. Выражение $16 \cdot 15!$ является произведением числа $16$ и факториала предыдущего числа $15$. Это соответствует определению факториала для числа $16$: $16! = 16 \cdot (16-1)! = 16 \cdot 15!$.
Ответ: $16!$

3) Применим свойство факториала последовательно. Сначала рассмотрим произведение $12! \cdot 13$. По определению, $13! = 13 \cdot 12!$. Таким образом, наше выражение можно переписать как $(12! \cdot 13) \cdot 14 = 13! \cdot 14$. Применяя свойство еще раз для $13! \cdot 14$, получаем $14!$.
Ответ: $14!$

4) Это обобщенный случай первого примера. По определению факториала, $(k+1)!$ есть произведение всех натуральных чисел от 1 до $k+1$. Его можно записать как $(k+1)! = (1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k) \cdot (k+1)$. Поскольку $k! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k$, то мы получаем: $k! \cdot (k+1) = (k+1)!$. Условие $k>5$ гарантирует, что $k$ является натуральным числом, для которого определен факториал.
Ответ: $(k+1)!$

5) Это прямое применение определения факториала для числа $k$. По определению, $k!$ есть произведение всех натуральных чисел от 1 до $k$. Его можно записать как $k! = (1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot (k-1)) \cdot k$. Поскольку $(k-1)! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot (k-1)$, то мы получаем: $(k-1)! \cdot k = k!$. Условие $k>5$ гарантирует, что $k-1 > 0$, и $(k-1)!$ определен.
Ответ: $k!$

6) В этом выражении мы можем последовательно применить свойство факториала. Сначала сгруппируем первые два множителя: $((k-1)! \cdot k) \cdot (k+1)$. Как мы показали в пункте 5, $(k-1)! \cdot k = k!$. Тогда выражение принимает вид $k! \cdot (k+1)$. Как мы показали в пункте 4, $k! \cdot (k+1) = (k+1)!$. Таким образом, $(k-1)! \cdot k \cdot (k+1) = (k+1)!$.
Ответ: $(k+1)!$

7) Решение аналогично предыдущему пункту. Сгруппируем первые два множителя: $((k-2)! \cdot (k-1)) \cdot k$. По определению факториала, $(k-2)! \cdot (k-1) = (k-1)!$. Условие $k>5$ гарантирует, что $k-2>0$. Тогда выражение принимает вид $(k-1)! \cdot k$. Как мы показали в пункте 5, $(k-1)! \cdot k = k!$. Таким образом, $(k-2)! \cdot (k-1) \cdot k = k!$.
Ответ: $k!$

8) Для упрощения этого выражения сначала разложим на множители квадратный трехчлен $k^2 - 7k + 12$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $k^2 - 7k + 12 = 0$. Используя теорему Виета, сумма корней $k_1 + k_2 = 7$, а их произведение $k_1 \cdot k_2 = 12$. Корнями являются числа $k_1 = 3$ и $k_2 = 4$. Тогда квадратный трехчлен раскладывается на множители: $k^2 - 7k + 12 = (k-3)(k-4)$. Подставим это в исходное выражение: $(k-5)! \cdot (k-4) \cdot (k-3)$. Теперь последовательно применяем свойство факториала. Условие $k>5$ гарантирует, что все факториалы определены. $(k-5)! \cdot (k-4) = (k-4)!$. Выражение становится $(k-4)! \cdot (k-3)$. Применив свойство еще раз, получаем $(k-4)! \cdot (k-3) = (k-3)!$.
Ответ: $(k-3)!$