Номер 430, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 3. Перестановки - номер 430, страница 178.

Условие.

430. Сколько различных пятизначных чисел (не содержащих одинаковых цифр), не кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи нужно найти количество пятизначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, которые удовлетворяют двум условиям: все цифры в числе должны быть различными, и число не должно быть кратно пяти.

Поскольку мы составляем пятизначное число из пяти различных цифр, каждое такое число является перестановкой этих пяти цифр. Учтем ограничение, что число не должно быть кратно пяти. Число кратно пяти, если его последняя цифра — 0 или 5. В нашем наборе цифр {1, 2, 3, 4, 5} есть только цифра 5. Следовательно, чтобы число не было кратно пяти, его последняя цифра не должна быть равна 5.

Будем составлять число, последовательно выбирая цифры для каждой из пяти позиций. Удобнее начать с позиции, на которую наложено ограничение, — это последняя цифра (разряд единиц).

1. Выбор последней цифры. На эту позицию можно поставить любую цифру из набора {1, 2, 3, 4, 5}, кроме 5. Таким образом, для последней цифры есть 4 варианта выбора: 1, 2, 3 или 4.

2. Выбор остальных цифр. После того как последняя цифра выбрана, у нас остается 4 неиспользованные цифры (одна из цифр {1, 2, 3, 4} занята, но теперь доступна цифра 5). Эти 4 оставшиеся цифры нужно разместить на первых четырех позициях. Количество способов разместить 4 различные цифры на 4 позициях равно числу перестановок из 4 элементов, то есть $P_4 = 4!$.

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

3. Общее количество чисел. Согласно комбинаторному правилу произведения, общее количество искомых чисел равно произведению количества вариантов для последней цифры на количество вариантов размещения остальных цифр.

Количество чисел = (Количество вариантов для последней цифры) $\times$ (Количество перестановок для остальных четырех цифр) = $4 \times 4! = 4 \times 24 = 96$.

Альтернативный способ (метод исключения):

1. Найдем общее количество всех возможных пятизначных чисел с неповторяющимися цифрами из набора {1, 2, 3, 4, 5}. Это число перестановок из 5 элементов: $P_5 = 5! = 120$.

2. Найдем количество "неподходящих" чисел, то есть тех, которые кратны пяти. Это числа, заканчивающиеся на 5. Зафиксируем 5 на последнем месте. Тогда оставшиеся 4 цифры {1, 2, 3, 4} можно расставить на первых четырех местах $4!$ способами: $4! = 24$.

3. Вычтем из общего количества чисел количество чисел, кратных пяти, чтобы найти количество чисел, не кратных пяти: $120 - 24 = 96$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 96