Страница 187 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

463. На плоскости проведены $k$ прямых, причём никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Определить число точек пересечения этих прямых.

Для определения числа точек пересечения $k$ прямых на плоскости воспользуемся условиями, данными в задаче.

Условие 1: Никакие две из них не параллельны. Это означает, что любая пара прямых имеет ровно одну точку пересечения. Если бы какие-то две прямые были параллельны, они бы не пересекались.

Условие 2: Никакие три не пересекаются в одной точке. Это означает, что каждая точка пересечения является уникальной для одной конкретной пары прямых. Никакая другая пара прямых не даст эту же точку.

Из этих двух условий следует, что для нахождения общего числа точек пересечения нам необходимо посчитать, сколько всего уникальных пар прямых можно составить из $k$ имеющихся прямых. Каждая такая пара даст одну уникальную точку пересечения.

Задача сводится к нахождению числа сочетаний из $k$ элементов по 2. В комбинаторике это обозначается как $C_k^2$ или $\binom{k}{2}$ и вычисляется по формуле:

$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

В нашем случае общее число элементов $n=k$ (количество прямых), а размер выбираемой группы $m=2$ (поскольку для пересечения нужны две прямые). Подставляем эти значения в формулу:

$C_k^2 = \frac{k!}{2!(k-2)!}$

Теперь упростим выражение, раскрыв факториал в числителе:

$C_k^2 = \frac{k \cdot (k-1) \cdot (k-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (k-2)!}$

Сократив $(k-2)!$ в числителе и знаменателе, получаем конечную формулу:

$C_k^2 = \frac{k(k-1)}{2}$

Это и есть искомое число точек пересечения.

Ответ: Число точек пересечения равно $\frac{k(k-1)}{2}$.

464. Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 чёрных шашек на 32 чёрных клетках шахматной доски?

Эта задача относится к комбинаторике, а именно к разделу о сочетаниях с повторениями. У нас есть 32 уникальные позиции (чёрные клетки доски), которые нужно заполнить тремя типами объектов: 12 белыми шашками (идентичными друг другу), 12 чёрными шашками (также идентичными) и 8 пустыми местами (которые также можно считать идентичными "объектами").

Решение можно найти, последовательно выполняя выбор позиций для каждого типа шашек:

1. Сначала выберем 12 клеток для расстановки 12 белых шашек. Поскольку все белые шашки одинаковы, порядок их расстановки на выбранных клетках не имеет значения. Следовательно, нам нужно найти число способов выбрать 12 клеток из 32. Это число сочетаний из 32 по 12, которое вычисляется по формуле:
$C_{32}^{12} = \frac{32!}{12!(32-12)!} = \frac{32!}{12!20!}$

2. После того как 12 клеток заняты белыми шашками, остаётся $32 - 12 = 20$ свободных клеток. На эти 20 клеток нужно рас

465. С помощью математической индукции доказать справедливость формулы (6).

Для доказательства утверждения методом математической индукции необходимо установить справедливость некой формулы (6). Так как сама формула в вопросе не приведена, в качестве примера будет доказана одна из наиболее известных формул, доказываемых этим методом — формула суммы квадратов первых $n$ натуральных чисел.

Доказываемая формула: $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Доказательство проводится в два этапа: проверка базиса индукции и выполнение индукционного шага.

1. Базис индукции

Проверим справедливость формулы для минимального натурального значения $n=1$.

Подставим $n=1$ в левую часть равенства:

$1^2 = 1$

Подставим $n=1$ в правую часть равенства:

$\frac{1 \cdot (1+1) \cdot (2 \cdot 1+1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Поскольку левая и правая части равны ($1=1$), формула верна для $n=1$. Базис индукции выполнен.

2. Индукционный шаг

Сделаем индукционное предположение: допустим, формула верна для некоторого произвольного натурального числа $n=k$, где $k \ge 1$.

$1^2 + 2^2 + \dots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

Теперь, основываясь на этом предположении, докажем, что формула верна и для следующего натурального числа, то есть для $n=k+1$. Нам нужно доказать, что:

$1^2 + 2^2 + \dots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}$

Рассмотрим левую часть этого равенства. Мы можем сгруппировать первые $k$ слагаемых и заменить их выражением из нашего индукционного предположения:

$(1^2 + 2^2 + \dots + k^2) + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2$

Теперь преобразуем полученное выражение. Приведем к общему знаменателю:

$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \frac{6(k+1)^2}{6} = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6}$

Вынесем общий множитель $(k+1)$ в числителе за скобки:

$\frac{(k+1) [k(2k+1) + 6(k+1)]}{6}$

Раскроем скобки и упростим выражение внутри квадратных скобок:

$\frac{(k+1) [2k^2 + k + 6k + 6]}{6} = \frac{(k+1) (2k^2 + 7k + 6)}{6}$

Разложим квадратный трехчлен $2k^2 + 7k + 6$ на множители. Можно заметить, что $(k+2)(2k+3) = 2k^2 + 3k + 4k + 6 = 2k^2 + 7k + 6$.

Подставим разложение обратно в наше выражение:

$\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

Теперь упростим правую часть равенства, которое мы доказываем для $n=k+1$:

$\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+2+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

Как мы видим, преобразованная левая часть полностью совпадает с правой частью. Это означает, что если формула верна для $n=k$, то она верна и для $n=k+1$. Индукционный шаг доказан.

Поскольку оба шага метода математической индукции выполнены, формула является верной для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Справедливость формулы доказана методом математической индукции.