Номер 464, страница 187 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 5. Сочетания без повторений и бином Ньютона - номер 464, страница 187.

Условие.

464. Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 чёрных шашек на 32 чёрных клетках шахматной доски?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Эта задача относится к комбинаторике, а именно к разделу о сочетаниях с повторениями. У нас есть 32 уникальные позиции (чёрные клетки доски), которые нужно заполнить тремя типами объектов: 12 белыми шашками (идентичными друг другу), 12 чёрными шашками (также идентичными) и 8 пустыми местами (которые также можно считать идентичными "объектами").

Решение можно найти, последовательно выполняя выбор позиций для каждого типа шашек:

1. Сначала выберем 12 клеток для расстановки 12 белых шашек. Поскольку все белые шашки одинаковы, порядок их расстановки на выбранных клетках не имеет значения. Следовательно, нам нужно найти число способов выбрать 12 клеток из 32. Это число сочетаний из 32 по 12, которое вычисляется по формуле:
$C_{32}^{12} = \frac{32!}{12!(32-12)!} = \frac{32!}{12!20!}$

2. После того как 12 клеток заняты белыми шашками, остаётся $32 - 12 = 20$ свободных клеток. На эти 20 клеток нужно рас