Номер 468, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 6. Сочетания с повторениями - номер 468, страница 189.

Условие.

468. Семь детских игрушек выбираются из игрушек четырёх видов. Сколькими способами это можно сделать, если игрушек каждого вида больше семи?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данная задача является классической задачей по комбинаторике на нахождение числа сочетаний с повторениями. Нам необходимо выбрать $k=7$ игрушек, при этом есть $n=4$ вида игрушек на выбор. Условие, что игрушек каждого вида больше семи, означает, что мы можем выбрать любое количество игрушек любого вида (вплоть до семи), и они не закончатся. Поскольку порядок выбора игрушек не имеет значения, а важен лишь итоговый состав набора, мы используем формулу для сочетаний с повторениями.

Число сочетаний с повторениями из $n$ элементов по $k$ находится по формуле:

$\bar{C}_n^k = C_{n+k-1}^k = \binom{n+k-1}{k}$

В нашем случае количество видов игрушек $n=4$, а количество выбираемых игрушек $k=7$. Подставим эти значения в формулу:

$\bar{C}_4^7 = C_{4+7-1}^7 = C_{10}^7$

Теперь вычислим значение полученного биномиального коэффициента:

$C_{10}^7 = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1}$

Сократим дробь:

$\frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$

Таким образом, существует 120 способов выбрать 7 игрушек из 4 видов.

Ответ: 120