Номер 472, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 472, страница 189.

Условие.

472. Найти значение выражения:

1) $ \frac{A_6^3}{P_4} + \frac{A_{11}^6}{11P_6} $

2) $ \left(\frac{C_{11}^7}{10} - \frac{C_7^2}{7}\right) \frac{P_5}{A_6^4} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Найдем значение выражения $\frac{A_6^3}{P_4} + \frac{A_{11}^6}{11P_6}$.
Для этого воспользуемся формулами для числа размещений из $n$ по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, и числа перестановок $n$ элементов: $P_n = n!$.
Вычислим каждое слагаемое по отдельности.
Найдем значение первого слагаемого $\frac{A_6^3}{P_4}$:
$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$.
$P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
$\frac{A_6^3}{P_4} = \frac{120}{24} = 5$.
Найдем значение второго слагаемого $\frac{A_{11}^6}{11P_6}$:
$A_{11}^6 = \frac{11!}{(11-6)!} = \frac{11!}{5!}$.
$P_6 = 6!$.
$\frac{A_{11}^6}{11P_6} = \frac{\frac{11!}{5!}}{11 \cdot 6!} = \frac{11!}{5! \cdot 11 \cdot 6!} = \frac{11 \cdot 10!}{11 \cdot 5! \cdot 6!} = \frac{10!}{5!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{ (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{120} = \frac{5040}{120} = 42$.
Теперь сложим полученные значения:
$5 + 42 = 47$.

Ответ: 47

2)

Найдем значение выражения $\left(\frac{C_{11}^7}{10} - \frac{C_7^2}{7}\right) \frac{P_5}{A_6^4}$.
Для этого воспользуемся формулами для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и числа перестановок $P_n = n!$.
Сначала вычислим значение выражения в скобках: $\left(\frac{C_{11}^7}{10} - \frac{C_7^2}{7}\right)$.
Вычислим $C_{11}^7$. Используем свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$:
$C_{11}^7 = C_{11}^{11-7} = C_{11}^4 = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11!}{4!7!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 10 \cdot 3 = 330$.
Тогда первая часть в скобках равна $\frac{C_{11}^7}{10} = \frac{330}{10} = 33$.
Вычислим $C_7^2$:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.
Тогда вторая часть в скобках равна $\frac{C_7^2}{7} = \frac{21}{7} = 3$.
Значение выражения в скобках: $33 - 3 = 30$.
Теперь вычислим второй множитель: $\frac{P_5}{A_6^4}$.
$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.
$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$.
$\frac{P_5}{A_6^4} = \frac{120}{360} = \frac{1}{3}$.
Наконец, перемножим полученные результаты:
$30 \cdot \frac{1}{3} = 10$.

Ответ: 10