Номер 469, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 6. Сочетания с повторениями. Глава 5. Комбинаторика - номер 469, страница 189.
№469 (с. 189)
Условие. №469 (с. 189)
скриншот условия

469. Сколько существует различных прямоугольных параллелепипедов, если длина каждого его ребра может выражаться любым целым числом от 1 до 8?
Решение 1. №469 (с. 189)

Решение 2. №469 (с. 189)

Решение 3. №469 (с. 189)
Задача состоит в том, чтобы найти количество уникальных наборов из трех измерений (длина, ширина, высота) для прямоугольного параллелепипеда. Обозначим эти измерения как a, b и c. Согласно условию, каждое из них может принимать любое целое значение из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Ключевым моментом является то, что два параллелепипеда считаются "различными", только если их наборы измерений не совпадают. Порядок измерений не важен, то есть параллелепипед с размерами {a, b, c} — это тот же самый, что и с размерами {b, a, c}, {c, b, a} и так далее. Например, параллелепипед 2x3x4 эквивалентен параллелепипеду 4x2x3.
Следовательно, нам нужно найти количество неупорядоченных наборов из трех чисел, которые можно составить из восьми доступных целых чисел, причем числа в наборе могут повторяться. Эту задачу можно решить, рассмотрев все возможные случаи соотношения длин ребер.
Случай 1: Все три ребра имеют разную длину (a ≠ b ≠ c).
В этом случае мы выбираем 3 различных числа из 8 возможных. Это классическая задача на сочетания без повторений. Количество таких сочетаний вычисляется по формуле:
$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Для нашего случая $n=8$ (количество чисел на выбор) и $k=3$ (количество измерений).
$C_8^3 = \binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$
Таким образом, существует 56 параллелепипедов, у которых все три измерения различны.
Случай 2: Два ребра имеют одинаковую длину, а третье — другую (a = b, a ≠ c).
Здесь нам нужно выбрать два разных числа из восьми: одно для пары одинаковых ребер, другое — для третьего ребра.
Сначала выберем значение для двух одинаковых ребер. Для этого есть 8 вариантов (от 1 до 8).
Затем выберем значение для третьего ребра, которое должно отличаться от первого. Для этого остается 7 вариантов.
Итого получаем $8 \times 7 = 56$ вариантов. Например, если мы выбрали {2, 5}, это может быть параллелепипед 2x2x5 или 5x5x2 — это разные наборы измерений, и наш метод их оба учитывает.
Случай 3: Все три ребра имеют одинаковую длину (a = b = c).
Такие параллелепипеды являются кубами. Длина ребра куба может быть любым целым числом от 1 до 8. Следовательно, существует ровно 8 таких вариантов: 1x1x1, 2x2x2, ..., 8x8x8.
Общее количество.
Чтобы найти общее количество различных параллелепипедов, нужно сложить количества, полученные в каждом из трех случаев:
$56 + 56 + 8 = 120$
Эту задачу можно также решить быстрее с помощью формулы для сочетаний с повторениями. Нам нужно выбрать k=3 измерения из n=8 возможных вариантов, причем размеры могут повторяться, а порядок не важен. Формула имеет вид:
$\bar{C}_n^k = \binom{n+k-1}{k}$
Подставляем наши значения:
$\bar{C}_8^3 = \binom{8+3-1}{3} = \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
Оба метода приводят к одному и тому же результату.
Ответ: 120
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 469 расположенного на странице 189 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №469 (с. 189), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.