Номер 469, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 6. Сочетания с повторениями - номер 469, страница 189.

Условие.

469. Сколько существует различных прямоугольных параллелепипедов, если длина каждого его ребра может выражаться любым целым числом от 1 до 8?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Задача состоит в том, чтобы найти количество уникальных наборов из трех измерений (длина, ширина, высота) для прямоугольного параллелепипеда. Обозначим эти измерения как a, b и c. Согласно условию, каждое из них может принимать любое целое значение из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Ключевым моментом является то, что два параллелепипеда считаются "различными", только если их наборы измерений не совпадают. Порядок измерений не важен, то есть параллелепипед с размерами {a, b, c} — это тот же самый, что и с размерами {b, a, c}, {c, b, a} и так далее. Например, параллелепипед 2x3x4 эквивалентен параллелепипеду 4x2x3.

Следовательно, нам нужно найти количество неупорядоченных наборов из трех чисел, которые можно составить из восьми доступных целых чисел, причем числа в наборе могут повторяться. Эту задачу можно решить, рассмотрев все возможные случаи соотношения длин ребер.

Случай 1: Все три ребра имеют разную длину (a ≠ b ≠ c).
В этом случае мы выбираем 3 различных числа из 8 возможных. Это классическая задача на сочетания без повторений. Количество таких сочетаний вычисляется по формуле:
$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Для нашего случая $n=8$ (количество чисел на выбор) и $k=3$ (количество измерений).
$C_8^3 = \binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$
Таким образом, существует 56 параллелепипедов, у которых все три измерения различны.

Случай 2: Два ребра имеют одинаковую длину, а третье — другую (a = b, a ≠ c).
Здесь нам нужно выбрать два разных числа из восьми: одно для пары одинаковых ребер, другое — для третьего ребра.
Сначала выберем значение для двух одинаковых ребер. Для этого есть 8 вариантов (от 1 до 8).
Затем выберем значение для третьего ребра, которое должно отличаться от первого. Для этого остается 7 вариантов.
Итого получаем $8 \times 7 = 56$ вариантов. Например, если мы выбрали {2, 5}, это может быть параллелепипед 2x2x5 или 5x5x2 — это разные наборы измерений, и наш метод их оба учитывает.

Случай 3: Все три ребра имеют одинаковую длину (a = b = c).
Такие параллелепипеды являются кубами. Длина ребра куба может быть любым целым числом от 1 до 8. Следовательно, существует ровно 8 таких вариантов: 1x1x1, 2x2x2, ..., 8x8x8.

Общее количество.
Чтобы найти общее количество различных параллелепипедов, нужно сложить количества, полученные в каждом из трех случаев:
$56 + 56 + 8 = 120$

Эту задачу можно также решить быстрее с помощью формулы для сочетаний с повторениями. Нам нужно выбрать k=3 измерения из n=8 возможных вариантов, причем размеры могут повторяться, а порядок не важен. Формула имеет вид:
$\bar{C}_n^k = \binom{n+k-1}{k}$
Подставляем наши значения:
$\bar{C}_8^3 = \binom{8+3-1}{3} = \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 120