Номер 469, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 6. Сочетания с повторениями. Глава 5. Комбинаторика - номер 469, страница 189.

№469 (с. 189)
Условие. №469 (с. 189)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 189, номер 469, Условие

469. Сколько существует различных прямоугольных параллелепипедов, если длина каждого его ребра может выражаться любым целым числом от 1 до 8?

Решение 1. №469 (с. 189)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 189, номер 469, Решение 1
Решение 2. №469 (с. 189)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 189, номер 469, Решение 2
Решение 3. №469 (с. 189)

Задача состоит в том, чтобы найти количество уникальных наборов из трех измерений (длина, ширина, высота) для прямоугольного параллелепипеда. Обозначим эти измерения как a, b и c. Согласно условию, каждое из них может принимать любое целое значение из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Ключевым моментом является то, что два параллелепипеда считаются "различными", только если их наборы измерений не совпадают. Порядок измерений не важен, то есть параллелепипед с размерами {a, b, c} — это тот же самый, что и с размерами {b, a, c}, {c, b, a} и так далее. Например, параллелепипед 2x3x4 эквивалентен параллелепипеду 4x2x3.

Следовательно, нам нужно найти количество неупорядоченных наборов из трех чисел, которые можно составить из восьми доступных целых чисел, причем числа в наборе могут повторяться. Эту задачу можно решить, рассмотрев все возможные случаи соотношения длин ребер.

Случай 1: Все три ребра имеют разную длину (a ≠ b ≠ c).
В этом случае мы выбираем 3 различных числа из 8 возможных. Это классическая задача на сочетания без повторений. Количество таких сочетаний вычисляется по формуле:
$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Для нашего случая $n=8$ (количество чисел на выбор) и $k=3$ (количество измерений).
$C_8^3 = \binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$
Таким образом, существует 56 параллелепипедов, у которых все три измерения различны.

Случай 2: Два ребра имеют одинаковую длину, а третье — другую (a = b, a ≠ c).
Здесь нам нужно выбрать два разных числа из восьми: одно для пары одинаковых ребер, другое — для третьего ребра.
Сначала выберем значение для двух одинаковых ребер. Для этого есть 8 вариантов (от 1 до 8).
Затем выберем значение для третьего ребра, которое должно отличаться от первого. Для этого остается 7 вариантов.
Итого получаем $8 \times 7 = 56$ вариантов. Например, если мы выбрали {2, 5}, это может быть параллелепипед 2x2x5 или 5x5x2 — это разные наборы измерений, и наш метод их оба учитывает.

Случай 3: Все три ребра имеют одинаковую длину (a = b = c).
Такие параллелепипеды являются кубами. Длина ребра куба может быть любым целым числом от 1 до 8. Следовательно, существует ровно 8 таких вариантов: 1x1x1, 2x2x2, ..., 8x8x8.

Общее количество.
Чтобы найти общее количество различных параллелепипедов, нужно сложить количества, полученные в каждом из трех случаев:
$56 + 56 + 8 = 120$

Эту задачу можно также решить быстрее с помощью формулы для сочетаний с повторениями. Нам нужно выбрать k=3 измерения из n=8 возможных вариантов, причем размеры могут повторяться, а порядок не важен. Формула имеет вид:
$\bar{C}_n^k = \binom{n+k-1}{k}$
Подставляем наши значения:
$\bar{C}_8^3 = \binom{8+3-1}{3} = \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 120

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 469 расположенного на странице 189 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №469 (с. 189), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.