Номер 470, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Упражнения к главе V - номер 470, страница 189.

Условие.

470. Вычислить:

1) $ \frac{5! - 4!}{2!} $

2) $ \frac{7! - 6!}{5!} $

3) $ \frac{54!}{53!} + \frac{70!}{69!} $

4) $ \frac{60!}{58!} - \frac{50!}{48!} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для вычисления выражения $\frac{5! - 4!}{2!}$ воспользуемся определением факториала $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$.

Сначала упростим числитель. Вынесем за скобки общий множитель $4!$:

$5! - 4! = (5 \times 4!) - 4! = 4! \times (5 - 1) = 4! \times 4$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{4! \times 4}{2!} = \frac{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 4}{2 \times 1} = \frac{24 \times 4}{2} = \frac{96}{2} = 48$.

Ответ: 48

2) Для вычисления выражения $\frac{7! - 6!}{5!}$ можно разделить дробь на разность двух дробей:

$\frac{7! - 6!}{5!} = \frac{7!}{5!} - \frac{6!}{5!}$.

Теперь упростим каждую дробь, используя свойство $n! = n \times (n-1)!$:

$\frac{7!}{5!} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{5!} = 7 \times 6 = 42$.

$\frac{6!}{5!} = \frac{6 \times 5!}{5!} = 6$.

Выполним вычитание:

$42 - 6 = 36$.

Ответ: 36

3) Для вычисления выражения $\frac{54!}{53!} + \frac{70!}{69!}$ упростим каждую дробь по отдельности.

Используем свойство $\frac{n!}{(n-1)!} = n$.

Для первой дроби:

$\frac{54!}{53!} = \frac{54 \times 53!}{53!} = 54$.

Для второй дроби:

$\frac{70!}{69!} = \frac{70 \times 69!}{69!} = 70$.

Теперь сложим полученные результаты:

$54 + 70 = 124$.

Ответ: 124

4) Для вычисления выражения $\frac{60!}{58!} - \frac{50!}{48!}$ упростим каждую дробь.

Используем свойство $\frac{n!}{(n-2)!} = n \times (n-1)$.

Для первой дроби:

$\frac{60!}{58!} = \frac{60 \times 59 \times 58!}{58!} = 60 \times 59 = 3540$.

Для второй дроби:

$\frac{50!}{48!} = \frac{50 \times 49 \times 48!}{48!} = 50 \times 49 = 2450$.

Теперь выполним вычитание:

$3540 - 2450 = 1090$.

Ответ: 1090