Номер 477, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Упражнения к главе V - номер 477, страница 189.

Условие.

477. Сколькими разными способами можно рассадить троих учащихся, пришедших на факультативные занятия, на сорока имеющихся в классе стульях?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

477.

Данная задача является классической задачей по комбинаторике на нахождение числа размещений. Нам необходимо определить, сколькими способами можно выбрать и разместить 3-х учащихся на 40 стульях. Поскольку все учащиеся различны и все стулья также различны (можно их пронумеровать), то порядок рассадки имеет значение. Например, если ученик А сидит на стуле 1, а ученик Б на стуле 2, то это не то же самое, что ученик Б на стуле 1, а ученик А на стуле 2.

Для решения задачи можно использовать правило произведения. Рассуждаем последовательно:
1. Первого учащегося можно посадить на любой из 40 стульев. Таким образом, для него есть 40 вариантов.
2. После того как первый учащийся занял свое место, для второго остается $40 - 1 = 39$ свободных стульев. То есть, у второго учащегося есть 39 вариантов.
3. После того как первые двое сели, для третьего учащегося остается $39 - 1 = 38$ свободных стульев. У него 38 вариантов.

Чтобы найти общее число способов, нужно перемножить число вариантов для каждого учащегося:
$N = 40 \times 39 \times 38$

Выполним вычисления:
$40 \times 39 = 1560$
$1560 \times 38 = 59280$

Также эту задачу можно решить с помощью формулы для числа размещений без повторений из n элементов по k, которая имеет вид:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
где n — общее количество элементов (стульев), а k — количество выбираемых элементов (учащихся).

В нашем случае $n = 40$ и $k = 3$. Подставим эти значения в формулу:
$A_{40}^3 = \frac{40!}{(40-3)!} = \frac{40!}{37!} = \frac{40 \times 39 \times 38 \times 37!}{37!} = 40 \times 39 \times 38 = 59280$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 59280.