Номер 481, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 481, страница 190.
№481 (с. 190)
Условие. №481 (с. 190)
скриншот условия

481. Используя свойства числа сочетаний, найти:
1) $C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$;
2) $C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3$.
Решение 1. №481 (с. 190)


Решение 2. №481 (с. 190)

Решение 3. №481 (с. 190)
1) $C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$
Для решения этой задачи воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов, которое гласит, что сумма всех чисел сочетаний из $n$ по $k$, где $k$ принимает все целые значения от $0$ до $n$, равна $2^n$.
Формула этого свойства выглядит так:
$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = 2^n$
Это свойство является следствием формулы бинома Ньютона $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$ при подстановке $a=1$ и $b=1$.
В данном выражении $n=4$, и мы имеем сумму всех биномиальных коэффициентов для этого значения $n$.
Применяя указанное свойство, получаем:
$C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 2^4$
Вычислим результат:
$2^4 = 16$
Ответ: 16
2) $C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3$
Для нахождения этой суммы мы воспользуемся двумя свойствами чисел сочетаний.
Во-первых, свойство суммы всех биномиальных коэффициентов для $n=7$:
$\sum_{k=0}^{7} C_7^k = C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3+C_7^4+C_7^5+C_7^6+C_7^7 = 2^7 = 128$
Во-вторых, свойство симметрии чисел сочетаний, которое утверждает, что $C_n^k = C_n^{n-k}$.
Применим свойство симметрии для $n=7$:
$C_7^4 = C_7^{7-4} = C_7^3$
$C_7^5 = C_7^{7-5} = C_7^2$
$C_7^6 = C_7^{7-6} = C_7^1$
$C_7^7 = C_7^{7-7} = C_7^0$
Обозначим искомую сумму через $S$: $S = C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3$.
Полная сумма биномиальных коэффициентов для $n=7$ может быть записана как:
$\sum_{k=0}^{7} C_7^k = (C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3) + (C_7^4+C_7^5+C_7^6+C_7^7)$
Используя свойство симметрии, мы видим, что вторая скобка равна первой:
$C_7^4+C_7^5+C_7^6+C_7^7 = C_7^3+C_7^2+C_7^1+C_7^0 = S$
Следовательно, полная сумма равна $S + S = 2S$.
Мы знаем, что полная сумма равна $2^7$, поэтому:
$2S = 2^7 = 128$
Отсюда находим $S$:
$S = \frac{128}{2} = 64$
Ответ: 64
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 481 расположенного на странице 190 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №481 (с. 190), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.