Номер 481, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Упражнения к главе V - номер 481, страница 190.

Условие.

481. Используя свойства числа сочетаний, найти:

1) $C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$;

2) $C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$

Для решения этой задачи воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов, которое гласит, что сумма всех чисел сочетаний из $n$ по $k$, где $k$ принимает все целые значения от $0$ до $n$, равна $2^n$.

Формула этого свойства выглядит так:

$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = 2^n$

Это свойство является следствием формулы бинома Ньютона $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$ при подстановке $a=1$ и $b=1$.

В данном выражении $n=4$, и мы имеем сумму всех биномиальных коэффициентов для этого значения $n$.

Применяя указанное свойство, получаем:

$C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 2^4$

Вычислим результат:

$2^4 = 16$

Ответ: 16

2) $C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3$

Для нахождения этой суммы мы воспользуемся двумя свойствами чисел сочетаний.

Во-первых, свойство суммы всех биномиальных коэффициентов для $n=7$:

$\sum_{k=0}^{7} C_7^k = C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3+C_7^4+C_7^5+C_7^6+C_7^7 = 2^7 = 128$

Во-вторых, свойство симметрии чисел сочетаний, которое утверждает, что $C_n^k = C_n^{n-k}$.

Применим свойство симметрии для $n=7$:

$C_7^4 = C_7^{7-4} = C_7^3$

$C_7^5 = C_7^{7-5} = C_7^2$

$C_7^6 = C_7^{7-6} = C_7^1$

$C_7^7 = C_7^{7-7} = C_7^0$

Обозначим искомую сумму через $S$: $S = C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3$.

Полная сумма биномиальных коэффициентов для $n=7$ может быть записана как:

$\sum_{k=0}^{7} C_7^k = (C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3) + (C_7^4+C_7^5+C_7^6+C_7^7)$

Используя свойство симметрии, мы видим, что вторая скобка равна первой:

$C_7^4+C_7^5+C_7^6+C_7^7 = C_7^3+C_7^2+C_7^1+C_7^0 = S$

Следовательно, полная сумма равна $S + S = 2S$.

Мы знаем, что полная сумма равна $2^7$, поэтому:

$2S = 2^7 = 128$

Отсюда находим $S$:

$S = \frac{128}{2} = 64$

Ответ: 64