Номер 481, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 481, страница 190.

№481 (с. 190)
Условие. №481 (с. 190)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 190, номер 481, Условие

481. Используя свойства числа сочетаний, найти:

1) $C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$;

2) $C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3$.

Решение 1. №481 (с. 190)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 190, номер 481, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 190, номер 481, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №481 (с. 190)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 190, номер 481, Решение 2
Решение 3. №481 (с. 190)

1) $C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$

Для решения этой задачи воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов, которое гласит, что сумма всех чисел сочетаний из $n$ по $k$, где $k$ принимает все целые значения от $0$ до $n$, равна $2^n$.

Формула этого свойства выглядит так:

$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = 2^n$

Это свойство является следствием формулы бинома Ньютона $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$ при подстановке $a=1$ и $b=1$.

В данном выражении $n=4$, и мы имеем сумму всех биномиальных коэффициентов для этого значения $n$.

Применяя указанное свойство, получаем:

$C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 2^4$

Вычислим результат:

$2^4 = 16$

Ответ: 16

2) $C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3$

Для нахождения этой суммы мы воспользуемся двумя свойствами чисел сочетаний.

Во-первых, свойство суммы всех биномиальных коэффициентов для $n=7$:

$\sum_{k=0}^{7} C_7^k = C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3+C_7^4+C_7^5+C_7^6+C_7^7 = 2^7 = 128$

Во-вторых, свойство симметрии чисел сочетаний, которое утверждает, что $C_n^k = C_n^{n-k}$.

Применим свойство симметрии для $n=7$:

$C_7^4 = C_7^{7-4} = C_7^3$

$C_7^5 = C_7^{7-5} = C_7^2$

$C_7^6 = C_7^{7-6} = C_7^1$

$C_7^7 = C_7^{7-7} = C_7^0$

Обозначим искомую сумму через $S$: $S = C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3$.

Полная сумма биномиальных коэффициентов для $n=7$ может быть записана как:

$\sum_{k=0}^{7} C_7^k = (C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3) + (C_7^4+C_7^5+C_7^6+C_7^7)$

Используя свойство симметрии, мы видим, что вторая скобка равна первой:

$C_7^4+C_7^5+C_7^6+C_7^7 = C_7^3+C_7^2+C_7^1+C_7^0 = S$

Следовательно, полная сумма равна $S + S = 2S$.

Мы знаем, что полная сумма равна $2^7$, поэтому:

$2S = 2^7 = 128$

Отсюда находим $S$:

$S = \frac{128}{2} = 64$

Ответ: 64

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 481 расположенного на странице 190 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №481 (с. 190), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.