Номер 486, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 486, страница 190.

Условие.

486. В одной стране номера автомобилей составляются из двух неодинаковых букв алфавита, содержащего 20 букв, и четырёх цифр (с возможными повторами). Скольким машинам можно присвоить полученные таким образом номера?

$20 \times 19 \times 10^4$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи необходимо найти общее количество возможных уникальных автомобильных номеров. Согласно условию, номер состоит из двух частей: буквенной и цифровой. По правилу произведения в комбинаторике, общее число комбинаций равно произведению числа комбинаций для каждой части.

1. Расчет количества комбинаций для буквенной части.

Буквенная часть номера состоит из двух неодинаковых букв, которые выбираются из алфавита, содержащего 20 букв. Поскольку порядок букв в номере важен (например, комбинация «АБ» отличается от «БА»), нам нужно вычислить количество размещений без повторений.

Количество способов выбрать первую букву равно 20. Так как вторая буква должна отличаться от первой, для ее выбора остается $20 - 1 = 19$ вариантов. Следовательно, общее количество комбинаций для буквенной части составляет: $N_{букв} = 20 \times 19 = 380$

Это соответствует формуле для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае $n=20$ и $k=2$: $A_{20}^2 = \frac{20!}{(20-2)!} = \frac{20!}{18!} = 20 \times 19 = 380$

2. Расчет количества комбинаций для цифровой части.

Цифровая часть номера состоит из четырех цифр. Для составления этой части используются 10 арабских цифр (от 0 до 9), и повторения разрешены.

Для каждой из четырех позиций в цифровой части номера существует 10 возможных вариантов выбора. Таким образом, общее количество комбинаций для цифровой части равно: $N_{цифр} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10000$

3. Расчет общего количества автомобильных номеров.

Чтобы найти общее количество возможных автомобильных номеров, необходимо перемножить количество вариантов для буквенной и цифровой частей: $N_{всего} = N_{букв} \times N_{цифр} = 380 \times 10000 = 3 800 000$

Таким образом, можно присвоить номера 3 800 000 машинам.

Ответ: 3 800 000