Номер 490, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Упражнения к главе V - номер 490, страница 190.

Условие.

490. Допустим, что Кай из сказки «Снежная королева» выкладывал слово вечность не из льдинок, а из букв в, е, ч, н, о, с, т, ь, каждая из которых написана на своей льдинке. Какое наибольшее число попыток расположения льдинок могло понадобиться Каю до того, как выложилось слово вечность?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

В задаче требуется определить наибольшее число попыток, которое могло понадобиться Каю, чтобы сложить слово «вечность». Это соответствует наихудшему сценарию, когда Кай перебирает все возможные неправильные комбинации букв и только в самой последней попытке получает правильное слово.

Следовательно, нам нужно найти общее количество всех возможных способов расположения имеющихся букв. Это задача на нахождение числа перестановок.

У Кая есть 8 льдинок с 8 уникальными буквами: в, е, ч, н, о, с, т, ь. Все буквы в наборе различны.

Количество способов, которыми можно расположить в ряд $n$ различных объектов (в данном случае, льдинок с буквами), равно факториалу числа $n$, который обозначается как $n!$.

Формула для числа перестановок из $n$ элементов:

$P_n = n!$

В нашем случае количество букв (льдинок) $n = 8$. Рассчитаем общее число возможных комбинаций:

$P_8 = 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Выполним вычисления:

$8 \times 7 = 56$

$56 \times 6 = 336$

$336 \times 5 = 1680$

$1680 \times 4 = 6720$

$6720 \times 3 = 20160$

$20160 \times 2 = 40320$

$40320 \times 1 = 40320$

Таким образом, существует 40 320 различных способов расположить льдинки. Наибольшее число попыток потребуется в том случае, если правильный вариант («вечность») окажется самым последним в переборе всех возможных вариантов. Это означает, что Каю придется сделать 40 320 попыток.

Ответ: 40320.