Номер 493, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 493, страница 190.

Условие.

493. Используя бином Ньютона, найти приближённое значение степени:

1) $1.002^8$;

2) $0.997^9$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения приближенного значения степени воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^n b^n$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Когда $b$ является малым числом по сравнению с $a$, для приближенного вычисления можно использовать только первые несколько членов этого разложения, так как степени $b$ быстро убывают.

1) 1,002⁸

Представим число $1,002$ в виде суммы $1 + 0,002$. Тогда необходимо найти значение выражения $(1 + 0,002)^8$.

В нашем случае $a=1$, $b=0,002$ и $n=8$.

Разложим по формуле бинома Ньютона и ограничимся первыми тремя членами для получения достаточной точности:

$(1 + 0,002)^8 = C_8^0 \cdot 1^8 \cdot (0,002)^0 + C_8^1 \cdot 1^7 \cdot (0,002)^1 + C_8^2 \cdot 1^6 \cdot (0,002)^2 + \dots$

Вычислим значения этих членов:

• Первый член: $C_8^0 \cdot 1^8 \cdot (0,002)^0 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.
• Второй член: $C_8^1 \cdot 1^7 \cdot (0,002)^1 = \frac{8!}{1!7!} \cdot 0,002 = 8 \cdot 0,002 = 0,016$.
• Третий член: $C_8^2 \cdot 1^6 \cdot (0,002)^2 = \frac{8!}{2!6!} \cdot (0,002)^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} \cdot 0,000004 = 28 \cdot 0,000004 = 0,000112$.

Последующие члены будут пренебрежимо малы. Сложим найденные значения:

$1,002^8 \approx 1 + 0,016 + 0,000112 = 1,016112$.

Ответ: $1,016112$.

2) 0,997⁹

Представим число $0,997$ в виде разности $1 - 0,003$. Тогда необходимо найти значение выражения $(1 - 0,003)^9$.

В нашем случае $a=1$, $b=-0,003$ и $n=9$.

Разложим по формуле бинома Ньютона, также ограничившись первыми тремя членами:

$(1 - 0,003)^9 = C_9^0 \cdot 1^9 \cdot (-0,003)^0 + C_9^1 \cdot 1^8 \cdot (-0,003)^1 + C_9^2 \cdot 1^7 \cdot (-0,003)^2 + \dots$

Вычислим значения этих членов:

• Первый член: $C_9^0 \cdot 1^9 \cdot (-0,003)^0 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.
• Второй член: $C_9^1 \cdot 1^8 \cdot (-0,003)^1 = \frac{9!}{1!8!} \cdot (-0,003) = 9 \cdot (-0,003) = -0,027$.
• Третий член: $C_9^2 \cdot 1^7 \cdot (-0,003)^2 = \frac{9!}{2!7!} \cdot (-0,003)^2 = \frac{9 \cdot 8}{2} \cdot 0,000009 = 36 \cdot 0,000009 = 0,000324$.

Сложим найденные значения:

$0,997^9 \approx 1 - 0,027 + 0,000324 = 0,973 + 0,000324 = 0,973324$.

Ответ: $0,973324$.