Номер 497, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 497, страница 191.

Условие.

497. Сколько существует различных комбинаций соединения четырёх различных сопротивлений на одном участке цепи? Варианты соединения, дающие одинаковые сопротивления всего участка цепи, считать одним вариантом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи необходимо найти количество уникальных с точки зрения общего сопротивления схем, которые можно составить из четырёх различных резисторов $R_1, R_2, R_3, R_4$. Уникальность схемы определяется уникальностью алгебраического выражения для её общего сопротивления. Мы будем рассматривать только серийно-параллельные (последовательно-параллельные) схемы, так как любые другие конфигурации из четырёх резисторов (например, мостовые) сводятся к ним.

Все возможные комбинации можно разделить на три основные категории в зависимости от структуры соединения.

I. Простейшие соединения (все резисторы соединены однотипно)

1. Все четыре резистора соединены последовательно.
Общее сопротивление вычисляется по формуле $R_{общ} = R_1+R_2+R_3+R_4$. Так как все резисторы различны, но операция сложения коммутативна, существует только одна такая комбинация.

2. Все четыре резистора соединены параллельно.
Общее сопротивление: $R_{общ} = (R_1^{-1}+R_2^{-1}+R_3^{-1}+R_4^{-1})^{-1}$. Аналогично последовательному соединению, существует только одна такая комбинация.

Итого в этой категории: $1 + 1 = 2$ комбинации.

II. Соединения по схеме «3+1»

В этих схемах один резистор соединяется (последовательно или параллельно) с блоком, состоящим из трёх остальных.

3. Блок из трёх последовательных резисторов параллельно с четвёртым.
Формула: $R_{общ} = (R_1+R_2+R_3)||R_4$. Здесь и далее операция $a||b$ означает $\frac{ab}{a+b}$. Для создания такой схемы нужно выбрать один резистор, который будет подключён параллельно остальным. Это можно сделать $C_4^1 = 4$ способами.

4. Блок из трёх параллельных резисторов последовательно с четвёртым.
Формула: $R_{общ} = (R_1||R_2||R_3)+R_4$. Аналогично предыдущему пункту, выбрать один резистор для последовательного соединения можно $C_4^1 = 4$ способами.

5. Смешанный блок (два последовательно, в параллель с третьим) соединён последовательно с четвёртым.
Формула: $R_{общ} = ((R_1+R_2)||R_3)+R_4$. Чтобы определить такую комбинацию, нужно выбрать «внешний» резистор $R_4$ ($C_4^1=4$ способа), а затем из оставшихся трёх выбрать резистор $R_3$ ($C_3^1=3$ способа). Итого: $4 \times 3 = 12$ комбинаций.

6. Смешанный блок (два параллельно, в послед. с третьим) соединён параллельно с четвёртым.
Формула: $R_{общ} = ((R_1||R_2)+R_3)||R_4$. Логика подсчёта аналогична предыдущему пункту: выбор $R_4$, затем $R_3$. Итого: $4 \times 3 = 12$ комбинаций.

7. Структура, сводящаяся к $(R_1+R_2)||R_3||R_4$.
Эта схема получается, например, из $((R_1+R_2)||R_3)||R_4$ за счёт ассоциативности параллельного соединения. Для её определения достаточно выбрать пару резисторов для последовательного соединения. Это можно сделать $C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ способами.

8. Структура, сводящаяся к $(R_1||R_2)+R_3+R_4$.
Эта схема получается из $((R_1||R_2)+R_3)+R_4$ за счёт ассоциативности последовательного соединения. Для её определения достаточно выбрать пару резисторов для параллельного соединения. Это можно сделать $C_4^2 = 6$ способами.

Итого в этой категории: $4+4+12+12+6+6 = 44$ комбинации.

III. Соединения по схеме «2+2»

В этих схемах цепь состоит из двух блоков по два резистора в каждом. Разбить четыре резистора на две пары можно $\frac{1}{2}C_4^2 = 3$ способами.

9. Два параллельных блока соединены последовательно.
Формула: $R_{общ} = (R_1||R_2)+(R_3||R_4)$. Количество таких комбинаций равно числу способов разбить резисторы на две пары, то есть 3.

10. Два последовательных блока соединены параллельно.
Формула: $R_{общ} = (R_1+R_2)||(R_3+R_4)$. Количество комбинаций также равно числу способов разбиения на две пары, то есть 3.

11. Последовательный и параллельный блоки соединены последовательно.
Формула: $R_{общ} = (R_1+R_2)+(R_3||R_4)$. Для определения такой комбинации нужно выбрать два резистора для последовательного блока. Это можно сделать $C_4^2=6$ способами.

12. Последовательный и параллельный блоки соединены параллельно.
Формула: $R_{общ} = (R_1+R_2)||(R_3||R_4)$. Аналогично предыдущему пункту, выбрать два резистора для последовательного блока можно $C_4^2=6$ способами.

Итого в этой категории: $3+3+6+6 = 18$ комбинаций.

Суммируя все найденные комбинации, получаем общее количество:$N = 2 (\text{кат. I}) + 44 (\text{кат. II}) + 18 (\text{кат. III}) = 64$.

Ответ: Существует 64 различные комбинации соединения четырёх различных сопротивлений.