Номер 504, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 504, страница 191.

504. Найти член разложения бинома $(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{12}$, содержащий $\frac{1}{x}$.

Для нахождения искомого члена разложения бинома воспользуемся формулой общего члена разложения бинома Ньютона:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$

где $T_{k+1}$ — это $(k+1)$-й член разложения, $n$ — степень бинома, $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

В нашем случае бином имеет вид $(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{12}$. Определим компоненты формулы:

$a = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$

$b = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$

$n = 12$

Подставим эти значения в формулу общего члена:

$T_{k+1} = C_{12}^k (x^{1/3})^{12-k} (x^{-1/2})^k$

Упростим выражение, используя свойства степеней:

$T_{k+1} = C_{12}^k x^{\frac{12-k}{3}} \cdot x^{-\frac{k}{2}} = C_{12}^k x^{\frac{12-k}{3} - \frac{k}{2}}$

Мы ищем член разложения, который содержит $\frac{1}{x}$, то есть $x^{-1}$. Для этого необходимо, чтобы показатель степени при $x$ был равен $-1$. Составим и решим уравнение для $k$:

$\frac{12-k}{3} - \frac{k}{2} = -1$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель, равный 6:

$6 \cdot \left(\frac{12-k}{3} - \frac{k}{2}\right) = 6 \cdot (-1)$

$2(12-k) - 3k = -6$

$24 - 2k - 3k = -6$

$24 - 5k = -6$

$-5k = -6 - 24$

$-5k = -30$

$k = 6$

Поскольку $k$ должно быть целым числом в диапазоне $0 \le k \le 12$, значение $k=6$ является допустимым. Это означает, что искомый член является $(6+1)$-м, то есть 7-м членом разложения.

Теперь найдем этот член, подставив $k=6$ в формулу для $T_{k+1}$:

$T_{6+1} = T_7 = C_{12}^6 x^{\frac{12-6}{3} - \frac{6}{2}} = C_{12}^6 x^{\frac{6}{3} - 3} = C_{12}^6 x^{2-3} = C_{12}^6 x^{-1}$

Осталось вычислить биномиальный коэффициент $C_{12}^6$:

$C_{12}^6 = \frac{12!}{6!(12-6)!} = \frac{12!}{6!6!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Выполнив сокращения, получаем:

$C_{12}^6 = 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 = 924$

Таким образом, искомый член разложения равен:

$T_7 = 924 \cdot x^{-1} = \frac{924}{x}$

Ответ: $\frac{924}{x}$