Номер 1, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 1, страница 192.

1. Решением каких задач занимается комбинаторика?

1. Комбинаторика — это раздел дискретной математики, который занимается решением задач, связанных с выбором, расположением и подсчетом количества различных конфигураций (или комбинаций), которые можно составить из элементов заданного, как правило, конечного множества.

Круг задач, решаемых комбинаторикой, очень широк. Их можно условно разделить на несколько основных типов:

1. Перечислительные задачи (или задачи на подсчет). Это самый известный и фундаментальный тип задач. Их цель — ответить на вопрос "Сколько существует способов?". Например: сколькими способами можно расставить 10 книг на полке, сколькими способами можно выбрать 3 дежурных из класса в 25 человек, или сколько существует различных автомобильных номеров в данном регионе.

2. Задачи на существование. В таких задачах требуется определить, существует ли хотя бы одна комбинация, удовлетворяющая определенным условиям. Классический пример — задача о семи кёнигсбергских мостах, которая спрашивала, существует ли маршрут, проходящий по каждому мосту ровно один раз.

3. Задачи на построение (конструктивные задачи). Эти задачи требуют не только доказать существование искомой конфигурации, но и предоставить алгоритм для её построения. Например, построить магический квадрат или составить сбалансированное расписание турнира, где каждая команда играет с каждой.

4. Экстремальные (оптимизационные) задачи. Здесь цель состоит в поиске среди всех возможных комбинаций такой, которая является "наилучшей" по какому-либо критерию (например, самой большой, самой маленькой, самой дешевой или самой быстрой). Типичный пример — задача коммивояжера, где нужно найти кратчайший маршрут, проходящий через все заданные города.

Для решения перечислительных задач комбинаторика оперирует основными понятиями, такими как:

• Перестановки – способы упорядочивания $n$ различных элементов. Их число равно $P_n = n!$.

• Размещения – способы выбора и упорядочивания $k$ элементов из $n$ различных. Их число равно $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

• Сочетания – способы выбора $k$ элементов из $n$ различных без учета порядка. Их число равно $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Ответ: Комбинаторика занимается решением задач, связанных с выбором и расположением объектов. В основном это задачи на подсчет количества возможных комбинаций (перечислительная комбинаторика), а также задачи на доказательство существования, построение алгоритмов для создания и поиск оптимальных (наилучших) конфигураций.