Номер 502, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Упражнения к главе V - номер 502, страница 191.

Условие.

502. В классе 28 учеников. Каждый день двое из них назначаются дежурными. Можно ли составить на весь год ежедневное расписание дежурства таким образом, чтобы никакие 2 ученика не дежурили вместе в течение года дважды?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо определить, сколько всего уникальных пар дежурных можно составить из 28 учеников, и сравнить это число с количеством дней в году.

Задача по выбору двух дежурных из 28 учеников является комбинаторной задачей на нахождение числа сочетаний. Порядок учеников в паре не важен (пара "Иванов и Петров" — это то же самое, что и "Петров и Иванов"), поэтому мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество учеников $n = 28$, а количество учеников в паре дежурных $k = 2$. Подставляем эти значения в формулу: $C_{28}^2 = \frac{28!}{2!(28-2)!} = \frac{28!}{2! \cdot 26!} = \frac{26! \cdot 27 \cdot 28}{2 \cdot 1 \cdot 26!} = \frac{27 \cdot 28}{2} = 27 \cdot 14 = 378$.

Таким образом, из 28 учеников можно составить 378 различных (уникальных) пар для дежурства. Это означает, что можно составить расписание на 378 дней с уникальными парами дежурных.

Теперь сравним это количество с продолжительностью года. В обычном году 365 дней, а в високосном — 366 дней.

Поскольку число возможных уникальных пар (378) больше, чем количество дней в году (даже в високосном, $378 > 366$), то можно составить расписание дежурств на весь год, в котором ни одна пара учеников не будет дежурить вместе дважды.

Ответ: да, можно.