Номер 508, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 508, страница 192.

508. В цветочном магазине продают цветы 7 видов (каждый вид представлен более чем 3 цветками). Сколькими способами можно составить букет из 3 цветков?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколькими способами можно составить букет из 3 цветков, выбирая из 7 доступных видов. Поскольку порядок цветов в букете не имеет значения (букет из розы и двух тюльпанов — это то же самое, что и букет из двух тюльпанов и розы), а цветы одного вида могут повторяться (например, букет из трех роз), мы имеем дело с задачей на сочетания с повторениями. Условие, что каждого вида цветов более 3, означает, что запас цветов каждого вида достаточен и не накладывает ограничений на выбор.

Формула для числа сочетаний с повторениями из $n$ элементов по $k$ имеет вид:

$\bar{C}_n^k = C_{n+k-1}^k = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$

В нашей задаче дано:
- количество видов цветов, из которых мы выбираем, $n = 7$;
- количество цветов в букете, $k = 3$.

Подставляем эти значения в формулу:

$\bar{C}_7^3 = C_{7+3-1}^3 = C_9^3$

Теперь вычислим значение сочетания:

$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

Таким образом, существует 84 способа составить букет.

Также задачу можно решить, рассмотрев все возможные типы композиций букета:

1. Все три цветка одного вида (например, 3 розы).
Для этого нужно выбрать 1 вид из 7 доступных. Количество способов: $C_7^1 = 7$.

2. Два цветка одного вида, а третий — другого (например, 2 розы и 1 тюльпан).
Сначала выбираем вид для двух одинаковых цветков ($7$ способов), а затем выбираем вид для третьего цветка из оставшихся 6 видов ($6$ способов). Общее число способов: $7 \times 6 = 42$.

3. Все три цветка разных видов (например, роза, тюльпан и гвоздика).
Для этого нужно выбрать 3 разных вида из 7 доступных. Количество способов: $C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.

Сложив все варианты, получаем общее количество способов: $7 + 42 + 35 = 84$.

Ответ: 84