Номер 4, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 4, страница 192.

4. Какие соединения называют перестановками? Чему равно число перестановок из $n$ элементов?

Какие соединения называют перестановками?

Перестановками из $n$ элементов называют такие комбинаторные соединения, которые состоят из всех $n$ элементов данного множества и отличаются друг от друга только порядком их расположения. Ключевым свойством перестановки является то, что в ней участвуют все элементы исходного множества без повторений, а важен именно порядок их следования.
Например, для множества из трёх букв {А, Б, В} существует 6 возможных перестановок:

• (А, Б, В)
• (А, В, Б)
• (Б, А, В)
• (Б, В, А)
• (В, А, Б)
• (В, Б, А)

Каждое из этих упорядоченных соединений является перестановкой.

Ответ: Перестановками из $n$ элементов называют соединения, которые состоят из одних и тех же $n$ элементов и отличаются друг от друга только порядком их расположения.

Чему равно число перестановок из n элементов?

Число всех возможных перестановок из $n$ различных элементов обозначается как $P_n$. Чтобы вычислить это число, можно использовать правило умножения.
Рассмотрим процесс формирования перестановки по шагам:
1. На первое место можно выбрать любой из $n$ элементов. Количество способов: $n$.
2. На второе место можно выбрать любой из оставшихся $n-1$ элементов. Количество способов: $n-1$.
3. На третье место можно выбрать любой из оставшихся $n-2$ элементов. Количество способов: $n-2$.
...
$n$. На последнее, $n$-е место, остаётся только один элемент. Количество способов: 1.
Общее число перестановок равно произведению числа способов на каждом шаге:
$P_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$
Это произведение называется факториалом числа $n$ и обозначается как $n!$.
Таким образом, формула для вычисления числа перестановок из $n$ элементов:
$P_n = n!$

Ответ: Число перестановок из $n$ элементов равно $n$-факториалу: $P_n = n!$.