Номер 7, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 7, страница 192.

7. Перечислить свойства сочетаний без повторений.

Сочетаниями без повторений из $n$ элементов по $k$ элементов ($0 \le k \le n$) называют любые подмножества из $k$ элементов, которые можно составить из множества, содержащего $n$ различных элементов. Порядок элементов в подмножестве не имеет значения. Число сочетаний без повторений обозначается как $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$ и рассчитывается по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Основные свойства сочетаний без повторений:

1. Свойство симметрии

   Это свойство утверждает, что количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ равно количеству способов выбрать $n-k$ элементов, которые не будут включены в выборку. Иными словами, выбрать $k$ элементов — это то же самое, что оставить $n-k$ элементов.

   Ответ: $C_n^k = C_n^{n-k}$

2. Граничные значения

   Для некоторых значений $k$ число сочетаний можно определить логически:

   • $C_n^0 = 1$ — существует только один способ выбрать 0 элементов (выбрать пустое множество).
   • $C_n^n = 1$ — существует только один способ выбрать все $n$ элементов.
   • $C_n^1 = n$ — существует ровно $n$ способов выбрать один элемент из $n$.

   Ответ: $C_n^0 = 1; \ C_n^n = 1; \ C_n^1 = n$

3. Правило сложения (тождество Паскаля)

   Это рекуррентное соотношение является основой для построения треугольника Паскаля. Оно показывает, как можно вычислить $C_n^k$, зная значения для $n-1$. Чтобы выбрать $k$ элементов из $n$, мы можем либо включить в выборку определенный элемент (и тогда останется выбрать $k-1$ из $n-1$), либо не включать его (и тогда нужно выбрать $k$ из $n-1$).

   Ответ: $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$

4. Сумма по нижнему индексу

   Сумма всех чисел сочетаний для данного $n$ (по всем возможным $k$ от 0 до $n$) равна $2^n$. Это соответствует общему количеству всех подмножеств множества, состоящего из $n$ элементов. Данное свойство является следствием формулы бинома Ньютона $(x+y)^n$ при $x=1$ и $y=1$.

   Ответ: $\sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n = 2^n$

5. Суммирование по верхнему индексу (правило «хоккейной клюшки»)

   Данное тождество позволяет вычислить сумму сочетаний, у которых нижний индекс $k$ фиксирован, а верхний индекс изменяется от $k$ до $n$. Название свойства происходит из-за визуального представления на треугольнике Паскаля: суммируемые элементы и результат образуют фигуру, похожую на хоккейную клюшку.

   Ответ: $\sum_{i=k}^{n} C_i^k = C_k^k + C_{k+1}^k + \dots + C_n^k = C_{n+1}^{k+1}$