Номер 4, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Проверь себя! - номер 4, страница 192.

Условие.

4. В одном классе изучается 10 разных учебных предметов. В пятницу завуч должен поставить в расписание этого класса 4 различных предмета. Сколькими способами он может это сделать?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

В данной задаче требуется найти количество способов составить расписание на один день из 4 различных предметов, выбирая их из 10 доступных. Так как порядок предметов в расписании важен (например, если первым уроком стоит математика, а вторым — физика, это не то же самое, что наоборот), нам необходимо найти число размещений.

Размещением из n элементов по k называется любой упорядоченный набор из k элементов, выбранных из данного множества, содержащего n элементов. Число размещений обозначается $A_n^k$ и вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае:

Общее количество изучаемых предметов n = 10.

Количество предметов в расписании на пятницу k = 4.

Подставим эти значения в формулу:

$A_{10}^4 = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!}$

Расписав факториалы, получаем:

$A_{10}^4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе (то есть $6!$), получим:

$A_{10}^4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$

Также эту задачу можно решить, используя правило умножения. Для выбора первого урока есть 10 вариантов. Так как предметы должны быть разными, для второго урока остается 9 вариантов. Для третьего — 8 вариантов, а для четвертого — 7. Общее число способов равно произведению этих вариантов:

$10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$

Ответ: 5040