Номер 2, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Проверь себя!. Глава 5. Комбинаторика - номер 2, страница 192.
№2 (с. 192)
Условие. №2 (с. 192)
скриншот условия

2. Решить неравенство $(n-3)P_{n+2} < P_{n+1}$
Решение 2. №2 (с. 192)

Решение 3. №2 (с. 192)
Для решения неравенства $(n - 3)P_{n+2} < P_{n+1}$ сначала определим его компоненты и область допустимых значений.
$P_k$ — это число перестановок из $k$ элементов, которое вычисляется по формуле $P_k = k!$.
Таким образом, неравенство можно переписать в виде:
$(n - 3)(n+2)! < (n+1)!$
Область допустимых значений (ОДЗ)
Выражение $k!$ определено для целых неотрицательных чисел $k$. Следовательно, должны выполняться следующие условия:
1. $n+2 \ge 0 \Rightarrow n \ge -2$
2. $n+1 \ge 0 \Rightarrow n \ge -1$
Поскольку $n$ должно быть целым числом, объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $n$ — целое число и $n \ge -1$.
Теперь рассмотрим все возможные случаи для множителя $(n-3)$.
Случай 1: $n - 3 < 0$
Это условие выполняется при $n < 3$. С учетом ОДЗ, рассматриваем целые значения $n \in \{-1, 0, 1, 2\}$.
При этих значениях $n$ множитель $(n-3)$ отрицателен. Факториалы $(n+2)!$ и $(n+1)!$ всегда положительны. Таким образом, левая часть неравенства $(n - 3)(n+2)!$ является произведением отрицательного и положительного числа, то есть отрицательна. Правая часть $(n+1)!$ положительна.
Неравенство "отрицательное число < положительное число" всегда истинно. Следовательно, все значения $n$ из этого случая являются решениями.
Решения в этом случае: $n \in \{-1, 0, 1, 2\}$.
Случай 2: $n - 3 = 0$
Это условие выполняется при $n = 3$. Это значение входит в ОДЗ.
Подставим $n=3$ в исходное неравенство:
$(3 - 3)P_{3+2} < P_{3+1}$
$0 \cdot P_5 < P_4$
$0 < 4!$
$0 < 24$
Это верное неравенство, значит $n=3$ также является решением.
Случай 3: $n - 3 > 0$
Это условие выполняется при $n > 3$. С учетом ОДЗ, рассматриваем целые значения $n \ge 4$.
Преобразуем неравенство, используя свойство факториала $(n+2)! = (n+2)(n+1)!$:
$(n - 3)(n+2)(n+1)! < (n+1)!$
Поскольку $(n+1)! > 0$ для всех $n$ из ОДЗ, мы можем разделить обе части неравенства на $(n+1)!$ без изменения знака неравенства:
$(n - 3)(n+2) < 1$
Раскроем скобки и упростим:
$n^2 + 2n - 3n - 6 < 1$
$n^2 - n - 7 < 0$
Найдем корни квадратного уравнения $n^2 - n - 7 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 1 + 28 = 29$.
Корни: $n_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}$.
Приблизительные значения корней: $n_1 \approx -2.195$ и $n_2 \approx 3.195$.
Решением неравенства $n^2 - n - 7 < 0$ является интервал $\frac{1 - \sqrt{29}}{2} < n < \frac{1 + \sqrt{29}}{2}$, или примерно $-2.195 < n < 3.195$.
Теперь найдем целые решения, удовлетворяющие условиям этого случая: $n \ge 4$ и $-2.195 < n < 3.195$. Пересечение этих множеств пусто, то есть в этом случае решений нет.
Итог
Объединяя решения из всех рассмотренных случаев, получаем полный набор решений:
Из случая 1: $n \in \{-1, 0, 1, 2\}$
Из случая 2: $n = 3$
Из случая 3: нет решений
Итоговый набор решений: $\{-1, 0, 1, 2, 3\}$.
Ответ: $n \in \{-1, 0, 1, 2, 3\}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 192 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 192), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.