Номер 2, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Проверь себя! - номер 2, страница 192.

Условие.

2. Решить неравенство $(n-3)P_{n+2} < P_{n+1}$

Решение 2.

Решение 3.

Для решения неравенства $(n - 3)P_{n+2} < P_{n+1}$ сначала определим его компоненты и область допустимых значений.

$P_k$ — это число перестановок из $k$ элементов, которое вычисляется по формуле $P_k = k!$.

Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

$(n - 3)(n+2)! < (n+1)!$

Область допустимых значений (ОДЗ)

Выражение $k!$ определено для целых неотрицательных чисел $k$. Следовательно, должны выполняться следующие условия:

1. $n+2 \ge 0 \Rightarrow n \ge -2$

2. $n+1 \ge 0 \Rightarrow n \ge -1$

Поскольку $n$ должно быть целым числом, объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $n$ — целое число и $n \ge -1$.

Теперь рассмотрим все возможные случаи для множителя $(n-3)$.

Случай 1: $n - 3 < 0$

Это условие выполняется при $n < 3$. С учетом ОДЗ, рассматриваем целые значения $n \in \{-1, 0, 1, 2\}$.

При этих значениях $n$ множитель $(n-3)$ отрицателен. Факториалы $(n+2)!$ и $(n+1)!$ всегда положительны. Таким образом, левая часть неравенства $(n - 3)(n+2)!$ является произведением отрицательного и положительного числа, то есть отрицательна. Правая часть $(n+1)!$ положительна.

Неравенство "отрицательное число < положительное число" всегда истинно. Следовательно, все значения $n$ из этого случая являются решениями.

Решения в этом случае: $n \in \{-1, 0, 1, 2\}$.

Случай 2: $n - 3 = 0$

Это условие выполняется при $n = 3$. Это значение входит в ОДЗ.

Подставим $n=3$ в исходное неравенство:

$(3 - 3)P_{3+2} < P_{3+1}$

$0 \cdot P_5 < P_4$

$0 < 4!$

$0 < 24$

Это верное неравенство, значит $n=3$ также является решением.

Случай 3: $n - 3 > 0$

Это условие выполняется при $n > 3$. С учетом ОДЗ, рассматриваем целые значения $n \ge 4$.

Преобразуем неравенство, используя свойство факториала $(n+2)! = (n+2)(n+1)!$:

$(n - 3)(n+2)(n+1)! < (n+1)!$

Поскольку $(n+1)! > 0$ для всех $n$ из ОДЗ, мы можем разделить обе части неравенства на $(n+1)!$ без изменения знака неравенства:

$(n - 3)(n+2) < 1$

Раскроем скобки и упростим:

$n^2 + 2n - 3n - 6 < 1$

$n^2 - n - 7 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $n^2 - n - 7 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 1 + 28 = 29$.

Корни: $n_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}$.

Приблизительные значения корней: $n_1 \approx -2.195$ и $n_2 \approx 3.195$.

Решением неравенства $n^2 - n - 7 < 0$ является интервал $\frac{1 - \sqrt{29}}{2} < n < \frac{1 + \sqrt{29}}{2}$, или примерно $-2.195 < n < 3.195$.

Теперь найдем целые решения, удовлетворяющие условиям этого случая: $n \ge 4$ и $-2.195 < n < 3.195$. Пересечение этих множеств пусто, то есть в этом случае решений нет.

Итог

Объединяя решения из всех рассмотренных случаев, получаем полный набор решений:

Из случая 1: $n \in \{-1, 0, 1, 2\}$

Из случая 2: $n = 3$

Из случая 3: нет решений

Итоговый набор решений: $\{-1, 0, 1, 2, 3\}$.

Ответ: $n \in \{-1, 0, 1, 2, 3\}$.