Номер 7, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Проверь себя! - номер 7, страница 192.

Условие.

в которых нет одинаковых цифр.

7. Записать разложение бинома:

1) $(x+y)^6$

2) $(1-a)^5$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для разложения биномов воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^n a^0 b^n$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты, которые также можно найти с помощью треугольника Паскаля.

1) $(x + y)^6$

В данном случае $a = x$, $b = y$, $n = 6$. Разложение будет иметь вид:

$(x+y)^6 = C_6^0 x^6 y^0 + C_6^1 x^5 y^1 + C_6^2 x^4 y^2 + C_6^3 x^3 y^3 + C_6^4 x^2 y^4 + C_6^5 x^1 y^5 + C_6^6 x^0 y^6$

Вычислим биномиальные коэффициенты $C_6^k$:

$C_6^0 = \frac{6!}{0!(6-0)!} = 1$

$C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1 \cdot 5!} = 6$

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

Используя свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, находим остальные коэффициенты:

$C_6^4 = C_6^{6-4} = C_6^2 = 15$

$C_6^5 = C_6^{6-5} = C_6^1 = 6$

$C_6^6 = C_6^{6-6} = C_6^0 = 1$

Коэффициенты разложения: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

Подставим найденные коэффициенты в формулу разложения:

$(x+y)^6 = 1 \cdot x^6 + 6 \cdot x^5 y + 15 \cdot x^4 y^2 + 20 \cdot x^3 y^3 + 15 \cdot x^2 y^4 + 6 \cdot x y^5 + 1 \cdot y^6$

Ответ: $(x+y)^6 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6$

2) $(1 - a)^5$

В данном случае первый член бинома равен $1$, второй — $(-a)$, а степень $n = 5$. Представим бином как $(1+(-a))^5$.

Разложение будет иметь вид:

$(1-a)^5 = C_5^0 \cdot 1^5 \cdot (-a)^0 + C_5^1 \cdot 1^4 \cdot (-a)^1 + C_5^2 \cdot 1^3 \cdot (-a)^2 + C_5^3 \cdot 1^2 \cdot (-a)^3 + C_5^4 \cdot 1^1 \cdot (-a)^4 + C_5^5 \cdot 1^0 \cdot (-a)^5$

Поскольку $1$ в любой степени равен $1$, а $(-a)^k$ дает знак минус для нечетных $k$, формула упрощается до:

$(1-a)^5 = C_5^0 - C_5^1 a + C_5^2 a^2 - C_5^3 a^3 + C_5^4 a^4 - C_5^5 a^5$

Вычислим биномиальные коэффициенты $C_5^k$:

$C_5^0 = 1$

$C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = 5$

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Используя свойство симметрии, находим остальные:

$C_5^3 = C_5^{5-3} = C_5^2 = 10$

$C_5^4 = C_5^{5-4} = C_5^1 = 5$

$C_5^5 = C_5^{5-5} = C_5^0 = 1$

Коэффициенты разложения: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Учитывая чередование знаков, получаем:

$(1-a)^5 = 1 - 5a + 10a^2 - 10a^3 + 5a^4 - a^5$

Ответ: $(1-a)^5 = 1 - 5a + 10a^2 - 10a^3 + 5a^4 - a^5$