Номер 6, страница 193 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Проверь себя!. Глава 5. Комбинаторика - номер 6, страница 193.
№6 (с. 193)
Условие. №6 (с. 193)
скриншот условия

6. Найти член разложения бинома $\left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{20}$, содержащий $x^5$.
Решение 2. №6 (с. 193)

Решение 3. №6 (с. 193)
Для нахождения члена разложения бинома используется формула бинома Ньютона:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$
Общий член этого разложения (обозначим его $T_{k+1}$) имеет вид:
$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$
В данном нам выражении $(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{20}$ имеем:
- $a = \sqrt{x} = x^{1/2}$
- $b = -\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = -x^{-1/3}$
- $n = 20$
Подставим эти значения в формулу общего члена:
$T_{k+1} = C_{20}^k (x^{1/2})^{20-k} (-x^{-1/3})^k$
Упростим это выражение, используя свойства степеней:
$T_{k+1} = C_{20}^k \cdot (-1)^k \cdot x^{\frac{1}{2}(20-k)} \cdot x^{-\frac{1}{3}k}$
$T_{k+1} = C_{20}^k (-1)^k x^{10 - \frac{k}{2} - \frac{k}{3}}$
Чтобы найти показатель степени $x$, приведем дроби к общему знаменателю:
$10 - \frac{k}{2} - \frac{k}{3} = 10 - (\frac{3k}{6} + \frac{2k}{6}) = 10 - \frac{5k}{6}$
Таким образом, формула общего члена принимает вид:
$T_{k+1} = C_{20}^k (-1)^k x^{10 - \frac{5k}{6}}$
По условию задачи, нам необходимо найти член, который содержит $x^5$. Это означает, что показатель степени $x$ должен быть равен 5. Составим и решим уравнение:
$10 - \frac{5k}{6} = 5$
$5 = \frac{5k}{6}$
$5k = 30$
$k = 6$
Мы нашли, что искомый член соответствует значению $k=6$. Согласно формуле, это $(k+1)$-й член, то есть $(6+1)=7$-й член разложения.
Теперь подставим $k=6$ в формулу для $T_{k+1}$, чтобы найти сам член:
$T_7 = C_{20}^6 (-1)^6 x^{10 - \frac{5 \cdot 6}{6}} = C_{20}^6 \cdot 1 \cdot x^{10-5} = C_{20}^6 x^5$
Осталось вычислить значение биномиального коэффициента $C_{20}^6$:
$C_{20}^6 = \frac{20!}{6!(20-6)!} = \frac{20!}{6!14!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
Последовательно сокращая дроби, получаем:
$C_{20}^6 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{720} = 38760$
Таким образом, искомый член разложения равен $38760x^5$.
Ответ: $38760x^5$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 6 расположенного на странице 193 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6 (с. 193), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.