Номер 6, страница 193 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Проверь себя! - номер 6, страница 193.

Условие.

6. Найти член разложения бинома $\left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{20}$, содержащий $x^5$.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения члена разложения бинома используется формула бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

Общий член этого разложения (обозначим его $T_{k+1}$) имеет вид:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$

В данном нам выражении $(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{20}$ имеем:

• $a = \sqrt{x} = x^{1/2}$
• $b = -\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = -x^{-1/3}$
• $n = 20$

Подставим эти значения в формулу общего члена:

$T_{k+1} = C_{20}^k (x^{1/2})^{20-k} (-x^{-1/3})^k$

Упростим это выражение, используя свойства степеней:

$T_{k+1} = C_{20}^k \cdot (-1)^k \cdot x^{\frac{1}{2}(20-k)} \cdot x^{-\frac{1}{3}k}$

$T_{k+1} = C_{20}^k (-1)^k x^{10 - \frac{k}{2} - \frac{k}{3}}$

Чтобы найти показатель степени $x$, приведем дроби к общему знаменателю:

$10 - \frac{k}{2} - \frac{k}{3} = 10 - (\frac{3k}{6} + \frac{2k}{6}) = 10 - \frac{5k}{6}$

Таким образом, формула общего члена принимает вид:

$T_{k+1} = C_{20}^k (-1)^k x^{10 - \frac{5k}{6}}$

По условию задачи, нам необходимо найти член, который содержит $x^5$. Это означает, что показатель степени $x$ должен быть равен 5. Составим и решим уравнение:

$10 - \frac{5k}{6} = 5$

$5 = \frac{5k}{6}$

$5k = 30$

$k = 6$

Мы нашли, что искомый член соответствует значению $k=6$. Согласно формуле, это $(k+1)$-й член, то есть $(6+1)=7$-й член разложения.

Теперь подставим $k=6$ в формулу для $T_{k+1}$, чтобы найти сам член:

$T_7 = C_{20}^6 (-1)^6 x^{10 - \frac{5 \cdot 6}{6}} = C_{20}^6 \cdot 1 \cdot x^{10-5} = C_{20}^6 x^5$

Осталось вычислить значение биномиального коэффициента $C_{20}^6$:

$C_{20}^6 = \frac{20!}{6!(20-6)!} = \frac{20!}{6!14!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Последовательно сокращая дроби, получаем:

$C_{20}^6 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{720} = 38760$

Таким образом, искомый член разложения равен $38760x^5$.

Ответ: $38760x^5$