Номер 5, страница 193 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Проверь себя!. Глава 5. Комбинаторика - номер 5, страница 193.
№5 (с. 193)
Условие. №5 (с. 193)
скриншот условия

5. Используя свойство числа сочетаний, найти:
1) $C_{10}^7 - C_9^6$;
2) $C_9^5 + C_9^6 + C_9^7 + C_9^8 + C_9^9$.
Решение 2. №5 (с. 193)

Решение 3. №5 (с. 193)
1) Для решения используем свойство числа сочетаний, известное как тождество Паскаля: $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$.
Применим это свойство для $C_{10}^7$, где $n=10$ и $k=7$:
$C_{10}^7 = C_{10-1}^{7-1} + C_{10-1}^7 = C_9^6 + C_9^7$.
Подставив это выражение в исходное, получаем:
$C_{10}^7 - C_9^6 = (C_9^6 + C_9^7) - C_9^6 = C_9^7$.
Теперь вычислим значение $C_9^7$. Используем свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$ и формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:
$C_9^7 = C_9^{9-7} = C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$.
Ответ: 36.
2) Для нахождения суммы воспользуемся двумя свойствами числа сочетаний.
Первое свойство — сумма всех биномиальных коэффициентов для заданного $n$ равна $2^n$: $\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$. Для $n=9$ имеем:
$C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 + C_9^4 + C_9^5 + C_9^6 + C_9^7 + C_9^8 + C_9^9 = 2^9 = 512$.
Второе свойство — свойство симметрии: $C_n^k = C_n^{n-k}$. Используя его, мы видим, что члены, равноотстоящие от концов, равны:
$C_9^0 = C_9^9$, $C_9^1 = C_9^8$, $C_9^2 = C_9^7$, $C_9^3 = C_9^6$, $C_9^4 = C_9^5$.
Искомая сумма $S = C_9^5 + C_9^6 + C_9^7 + C_9^8 + C_9^9$ является суммой последних пяти членов. Сумма первых пяти членов $(C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 + C_9^4)$ в силу симметрии равна искомой сумме $S$.
Таким образом, полная сумма $2^9$ состоит из двух равных частей: $S + S = 2S$.
$2S = 2^9$, откуда $S = \frac{2^9}{2} = 2^8 = 256$.
Ответ: 256.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5 расположенного на странице 193 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5 (с. 193), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.