Номер 5, страница 193 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Проверь себя! - номер 5, страница 193.

Условие.

5. Используя свойство числа сочетаний, найти:

1) $C_{10}^7 - C_9^6$;

2) $C_9^5 + C_9^6 + C_9^7 + C_9^8 + C_9^9$.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для решения используем свойство числа сочетаний, известное как тождество Паскаля: $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$.

Применим это свойство для $C_{10}^7$, где $n=10$ и $k=7$:

$C_{10}^7 = C_{10-1}^{7-1} + C_{10-1}^7 = C_9^6 + C_9^7$.

Подставив это выражение в исходное, получаем:

$C_{10}^7 - C_9^6 = (C_9^6 + C_9^7) - C_9^6 = C_9^7$.

Теперь вычислим значение $C_9^7$. Используем свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$ и формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_9^7 = C_9^{9-7} = C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$.

Ответ: 36.

2) Для нахождения суммы воспользуемся двумя свойствами числа сочетаний.

Первое свойство — сумма всех биномиальных коэффициентов для заданного $n$ равна $2^n$: $\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$. Для $n=9$ имеем:

$C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 + C_9^4 + C_9^5 + C_9^6 + C_9^7 + C_9^8 + C_9^9 = 2^9 = 512$.

Второе свойство — свойство симметрии: $C_n^k = C_n^{n-k}$. Используя его, мы видим, что члены, равноотстоящие от концов, равны:

$C_9^0 = C_9^9$, $C_9^1 = C_9^8$, $C_9^2 = C_9^7$, $C_9^3 = C_9^6$, $C_9^4 = C_9^5$.

Искомая сумма $S = C_9^5 + C_9^6 + C_9^7 + C_9^8 + C_9^9$ является суммой последних пяти членов. Сумма первых пяти членов $(C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 + C_9^4)$ в силу симметрии равна искомой сумме $S$.

Таким образом, полная сумма $2^9$ состоит из двух равных частей: $S + S = 2S$.

$2S = 2^9$, откуда $S = \frac{2^9}{2} = 2^8 = 256$.

Ответ: 256.