Номер 1, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Проверь себя! - номер 1, страница 192.

Условие.

1. Решить относительно n уравнение:

1) $P_{n+4} = 20P_{n+2}$;

2) $A_{n+1}^3 = C_{n+2}^2$.

Решение 2.

Решение 3.

1) $P_{n+4} = 20P_{n+2}$

Данное уравнение содержит перестановки. Формула для числа перестановок из $k$ элементов: $P_k = k!$. Область допустимых значений (ОДЗ) для $n$ определяется условием, что индекс перестановки должен быть неотрицательным целым числом.
$n+4 \ge 0 \implies n \ge -4$
$n+2 \ge 0 \implies n \ge -2$
Таким образом, $n$ должно быть целым числом, и $n \ge -2$.

Подставим определение перестановки через факториал в исходное уравнение:
$(n+4)! = 20 \cdot (n+2)!$

Используя свойство факториала $k! = k \cdot (k-1)!$, распишем $(n+4)!$ как $(n+4)(n+3)(n+2)!$.
$(n+4)(n+3)(n+2)! = 20 \cdot (n+2)!$

Поскольку $(n+2)! \ne 0$ для любого $n$ из ОДЗ, мы можем разделить обе части уравнения на $(n+2)!$:
$(n+4)(n+3) = 20$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$n^2 + 3n + 4n + 12 = 20$
$n^2 + 7n + 12 - 20 = 0$
$n^2 + 7n - 8 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а их произведение равно $-8$. Корнями являются:
$n_1 = 1$
$n_2 = -8$

Сравним корни с ОДЗ ($n \ge -2$).
Корень $n_1 = 1$ удовлетворяет условию.
Корень $n_2 = -8$ не удовлетворяет условию.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $n=1$

2) $A_{n+1}^3 = C_{n+2}^2$

Уравнение содержит размещения ($A_n^k$) и сочетания ($C_n^k$). Их формулы:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Определим ОДЗ для $n$. Для корректного определения размещений и сочетаний необходимо, чтобы верхний индекс был не меньше нижнего.
Для $A_{n+1}^3$ требуется $n+1 \ge 3$, то есть $n \ge 2$.
Для $C_{n+2}^2$ требуется $n+2 \ge 2$, то есть $n \ge 0$.
Общее условие для $n$: $n$ — целое число и $n \ge 2$.

Подставим формулы в уравнение:
$\frac{(n+1)!}{(n+1-3)!} = \frac{(n+2)!}{2!(n+2-2)!}$
$\frac{(n+1)!}{(n-2)!} = \frac{(n+2)!}{2 \cdot n!}$

Упростим выражения, раскрыв факториалы:
Левая часть: $(n+1)n(n-1)\frac{(n-2)!}{(n-2)!} = (n+1)n(n-1)$.
Правая часть: $\frac{(n+2)(n+1)n!}{2n!} = \frac{(n+2)(n+1)}{2}$.

Получаем уравнение:
$(n+1)n(n-1) = \frac{(n+2)(n+1)}{2}$

В соответствии с ОДЗ, $n \ge 2$, следовательно, $n+1 \ne 0$. Можем разделить обе части на $(n+1)$:
$n(n-1) = \frac{n+2}{2}$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$2n(n-1) = n+2$
$2n^2 - 2n = n+2$
$2n^2 - 3n - 2 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$
$n = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$
Находим два корня:
$n_1 = \frac{3+5}{4} = 2$
$n_2 = \frac{3-5}{4} = -0.5$

Проверим корни по ОДЗ ($n \ge 2$, $n$ — целое).
Корень $n_1 = 2$ удовлетворяет условиям.
Корень $n_2 = -0.5$ не является целым числом, поэтому отбрасывается.
Единственное решение — $n=2$.

Ответ: $n=2$