Номер 2, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Проверь себя! - номер 2, страница 192.

Условие.

A7

2. Упростить:

1) $\frac{(n+1)!}{(n-1)!}$

2) $\frac{(n-4)!}{(n-2)!}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для упрощения дроби $\frac{(n+1)!}{(n-1)!}$ необходимо воспользоваться определением факториала. Факториал числа $k$, обозначаемый как $k!$, является произведением всех натуральных чисел от 1 до $k$. Важным свойством факториала является то, что $k! = k \cdot (k-1)!$.

Расшифруем числитель $(n+1)!$ до тех пор, пока не появится множитель, равный знаменателю $(n-1)!$:

$(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 1$

Заметим, что часть этого произведения, а именно $(n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 1$, является $(n-1)!$. Следовательно, мы можем переписать числитель следующим образом:

$(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!$

Теперь подставим это выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n-1)!}$

Сократим общий множитель $(n-1)!$ в числителе и знаменателе (это возможно при условии, что $n-1 \ge 0$, то есть $n \ge 1$):

$\frac{(n+1) \cdot n \cdot \cancel{(n-1)!}}{\cancel{(n-1)!}} = (n+1) \cdot n$

Можно оставить ответ в таком виде или раскрыть скобки:

$n(n+1) = n^2 + n$

Ответ: $n(n+1)$

2) Упростим выражение $\frac{(n-4)!}{(n-2)!}$. В данном случае факториал в знаменателе является факториалом большего числа, чем в числителе, так как $(n-2) > (n-4)$.

Используя то же свойство факториала, что и в предыдущем пункте, распишем знаменатель $(n-2)!$ до множителя $(n-4)!$:

$(n-2)! = (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4)!$

Теперь подставим это разложение в знаменатель исходной дроби:

$\frac{(n-4)!}{(n-2)!} = \frac{(n-4)!}{(n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4)!}$

Сократим общий множитель $(n-4)!$ (это возможно при условии, что $n-4 \ge 0$, то есть $n \ge 4$):

$\frac{\cancel{(n-4)!}}{(n-2) \cdot (n-3) \cdot \cancel{(n-4)!}} = \frac{1}{(n-2)(n-3)}$

При желании можно раскрыть скобки в знаменателе:

$\frac{1}{(n-2)(n-3)} = \frac{1}{n^2 - 3n - 2n + 6} = \frac{1}{n^2 - 5n + 6}$

Ответ: $\frac{1}{(n-2)(n-3)}$