Номер 9, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 9, страница 192.

Условие.

9. Записать формулу бинома Ньютона.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Формула бинома Ньютона — это формула для разложения в многочлен выражения $(a+b)^n$, где $n$ — целое неотрицательное число. Она позволяет представить степень двучлена (бинома) в виде суммы одночленов.

В развернутом виде формула выглядит так:

$(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^k a^{n-k} b^k + \dots + C_n^n a^0 b^n$

Более компактная запись этой формулы использует знак суммирования:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

В этих формулах используются следующие обозначения:
- $a$ и $b$ — любые математические выражения, которые могут быть числами, переменными и т.д.
- $n$ — показатель степени, являющийся целым неотрицательным числом ($n \in \{0, 1, 2, \dots\}$).
- $k$ — индекс суммирования, который пробегает целые значения от $0$ до $n$.
- $C_n^k$ — биномиальные коэффициенты. Они показывают, сколькими способами можно выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов.

Биномиальный коэффициент $C_n^k$ (также обозначается как $\binom{n}{k}$) вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Здесь $n!$ (читается как "эн факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. По определению, $0! = 1$.

Пример разложения по формуле бинома Ньютона

Найдем разложение для $(a+b)^4$. Здесь $n=4$.

$(a+b)^4 = C_4^0 a^4 + C_4^1 a^3 b + C_4^2 a^2 b^2 + C_4^3 a b^3 + C_4^4 b^4$

Вычислим биномиальные коэффициенты:
$C_4^0 = \frac{4!}{0!(4-0)!} = \frac{4!}{1 \cdot 4!} = 1$
$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1 \cdot 3!} = \frac{24}{6} = 4$
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$
$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{24}{6} = 4$
$C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4! \cdot 0!} = 1$

Подставив найденные коэффициенты, получаем окончательный результат:

$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

Ответ: Формула бинома Ньютона имеет вид $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где $n$ — целое неотрицательное число, а биномиальные коэффициенты $C_n^k$ вычисляются по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.