Номер 2, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 2, страница 192.

2. Сформулировать правило произведения.

Правило произведения (или правило умножения) — это один из основных принципов комбинаторики, который позволяет находить общее число исходов сложного (составного) эксперимента, состоящего из нескольких последовательных независимых этапов.

Формулировка правила

Если существует $n_1$ способов выполнить первое действие, и для каждого из этих способов существует $n_2$ способов выполнить второе действие, и так далее, до $k$-го действия, которое можно выполнить $n_k$ способами (независимо от результатов предыдущих действий), то общее число способов выполнить всю последовательность из $k$ действий равно произведению этих чисел.

Математически это выражается формулой: $$ N = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot \dots \cdot n_k $$ где $N$ — общее число способов.

С точки зрения теории множеств, правило произведения утверждает, что мощность декартова произведения конечных множеств равна произведению их мощностей: $$ |A_1 \times A_2 \times \dots \times A_k| = |A_1| \cdot |A_2| \cdot \dots \cdot |A_k| $$

Пример 1: Выбор одежды

Предположим, в шкафу есть 5 различных футболок, 3 пары джинсов и 2 пары кроссовок. Сколько различных комплектов одежды (футболка + джинсы + кроссовки) можно составить?

Решение:

Здесь мы имеем три последовательных выбора:

• Выбор футболки: $n_1 = 5$ способов.
• Выбор джинсов: $n_2 = 3$ способа.
• Выбор кроссовок: $n_3 = 2$ способа.

Чтобы найти общее количество комплектов, мы перемножаем количество вариантов для каждого шага: $$ N = 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30 $$ Таким образом, можно составить 30 различных комплектов одежды.

Пример 2: Составление пароля

Сколько различных паролей можно создать, если пароль должен состоять из двух заглавных латинских букв (всего 26 букв) и трех цифр (от 0 до 9), причем символы могут повторяться?

Решение:

Пароль состоит из 5 позиций. Рассчитаем количество вариантов для каждой позиции:

• Первая позиция (буква): $n_1 = 26$ вариантов.
• Вторая позиция (буква): $n_2 = 26$ вариантов (так как повторения разрешены).
• Третья позиция (цифра): $n_3 = 10$ вариантов.
• Четвертая позиция (цифра): $n_4 = 10$ вариантов.
• Пятая позиция (цифра): $n_5 = 10$ вариантов.

Общее количество возможных паролей находим по правилу произведения: $$ N = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot n_4 \cdot n_5 = 26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 26^2 \cdot 10^3 = 676 \cdot 1000 = 676000 $$ Следовательно, можно создать 676 000 различных паролей.

Ответ: Правило произведения в комбинаторике гласит: если некоторый выбор $A$ можно осуществить $n$ способами, а для каждого из этих способов другой выбор $B$ можно осуществить $m$ способами, то общее число способов сделать последовательный выбор пары $(A, B)$ равно $n \cdot m$. Для последовательности из $k$ действий, если $i$-е действие можно выполнить $n_i$ способами, то общее число способов выполнить всю последовательность равно произведению $N = n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_k$.