Номер 505, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 505, страница 191.

505. Даны числа от 1 до 20. Сколькими способами можно выбрать из них 3 числа, сумма которых будет числом чётным?

В наборе чисел от 1 до 20 содержится 10 чётных чисел (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) и 10 нечётных чисел (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19). Сумма трёх целых чисел будет чётной только в двух случаях:

• Все три выбранных числа являются чётными (например, Ч + Ч + Ч = Чётное).
• Одно из выбранных чисел — чётное, а два других — нечётные (например, Ч + Н + Н = Чётное).

Рассчитаем количество способов для каждого из этих случаев. Поскольку порядок выбора чисел не имеет значения, мы будем использовать формулу для нахождения числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Случай 1: Все три числа чётные.

Нужно выбрать 3 чётных числа из 10 имеющихся. Количество способов для этого случая равно числу сочетаний из 10 по 3:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$ способов.

Случай 2: Одно число чётное и два числа нечётные.

Этот случай состоит из двух независимых выборов:

• Выбрать 1 чётное число из 10. Количество способов: $C_{10}^1 = 10$.
• Выбрать 2 нечётных числа из 10. Количество способов: $C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество способов для этого случая равно произведению количества способов для каждого выбора:

$C_{10}^1 \times C_{10}^2 = 10 \times 45 = 450$ способов.

Общее количество способов

Чтобы найти общее количество способов выбрать 3 числа с чётной суммой, нужно сложить количество способов для обоих рассмотренных случаев, так как они взаимоисключающие:

Общее количество способов = $120 + 450 = 570$.

Ответ: 570