Номер 498, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Упражнения к главе V - номер 498, страница 191.

Условие.

498. Сколькими способами можно поставить на шахматной доске чёрную и белую ладьи так, чтобы они не били друг друга?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи воспользуемся комбинаторным подходом. Стандартная шахматная доска представляет собой сетку размером $8 \times 8$, состоящую из 64 клеток.

Условие, что две ладьи не бьют друг друга, означает, что они должны находиться в разных рядах (горизонталях) и в разных столбцах (вертикалях).

Рассмотрим процесс размещения двух ладей (чёрной и белой) последовательно.

Шаг 1: Размещение первой ладьи.

Допустим, мы сначала ставим на доску белую ладью. Поскольку доска пуста, мы можем выбрать любую из 64 клеток. Таким образом, существует 64 способа разместить первую ладью.

Шаг 2: Размещение второй ладьи.

После того как первая (белая) ладья установлена, она занимает одну горизонталь и одну вертикаль. На доске 8 горизонталей и 8 вертикалей. Это означает, что для второй (чёрной) ладьи остаётся:

• $8 - 1 = 7$ свободных горизонталей.
• $8 - 1 = 7$ свободных вертикалей.

Любая клетка, находящаяся на пересечении этих свободных горизонталей и вертикалей, является безопасной для второй ладьи. Количество таких безопасных клеток равно произведению числа свободных горизонталей на число свободных вертикалей:

$7 \times 7 = 49$

Таким образом, для каждого из 64 положений первой ладьи существует 49 возможных положений для второй ладьи.

Шаг 3: Вычисление общего количества способов.

По правилу умножения в комбинаторике, общее количество способов разместить обе ладьи так, чтобы они не били друг друга, равно произведению числа способов на каждом шаге:

Количество способов = (число способов для первой ладьи) × (число способов для второй ладьи)

Общее количество способов = $64 \times 49$

Выполним вычисление:

$64 \times 49 = 64 \times (50 - 1) = 64 \times 50 - 64 \times 1 = 3200 - 64 = 3136$

Итак, существует 3136 способов расставить на шахматной доске чёрную и белую ладьи так, чтобы они не находились под боем друг у друга.

Ответ: 3136 способов.