Номер 496, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 496, страница 191.

Условие.

496. Сколько различных значений сопротивлений на участке цепи можно получить, имея в наличии три различных сопротивления $R_1, R_2, R_3$? Варианты соединения, дающие одинаковые сопротивления всего участка цепи, считать одинаковыми вариантами. Рассчитать все возможные сопротивления получаемых участков (применяя знания расчётов сопротивления при последовательном и параллельном соединении проводников).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения всех возможных значений сопротивления, которые можно получить из трех различных резисторов $R_1, R_2, R_3$, необходимо рассмотреть все возможные схемы их соединения, используя последовательное и параллельное подключение. Разобьем все возможные схемы на группы по количеству используемых резисторов.

1. Схемы с одним резистором
Используя каждый резистор по отдельности, мы получаем 3 различных значения сопротивления. Это самые простые варианты.
1. $R_1$
2. $R_2$
3. $R_3$

2. Схемы с двумя резисторами
Из трех резисторов можно составить три уникальные пары: $(R_1, R_2)$, $(R_1, R_3)$, и $(R_2, R_3)$. Каждую пару можно соединить двумя способами: последовательно и параллельно. Это дает $3 \times 2 = 6$ новых значений.
Последовательное соединение (3 значения):
4. $R_1 + R_2$
5. $R_1 + R_3$
6. $R_2 + R_3$
Параллельное соединение (3 значения):
7. $\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$
8. $\frac{R_1 R_3}{R_1 + R_3}$
9. $\frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}$

3. Схемы с тремя резисторами
При использовании всех трех резисторов можно получить 8 различных значений, которые соответствуют четырем основным топологиям соединения.
Все три соединены последовательно (1 значение):
10. $R_1 + R_2 + R_3$
Все три соединены параллельно (1 значение):
11. $(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3})^{-1} = \frac{R_1 R_2 R_3}{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}$
Смешанное соединение: один резистор последовательно с параллельной парой других (3 значения, в зависимости от того, какой резистор выбран как одиночный):
12. $R_1 + \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}$
13. $R_2 + \frac{R_1 R_3}{R_1 + R_3}$
14. $R_3 + \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$
Смешанное соединение: один резистор параллельно с последовательной парой других (3 значения):
15. $\frac{R_1 (R_2 + R_3)}{R_1 + R_2 + R_3}$
16. $\frac{R_2 (R_1 + R_3)}{R_2 + R_1 + R_3}$
17. $\frac{R_3 (R_1 + R_2)}{R_3 + R_1 + R_2}$

Итог
Суммируя все уникальные комбинации, получаем общее количество различных значений сопротивления: $3$ (из одного резистора) + $6$ (из двух резисторов) + $8$ (из трех резисторов) = $17$.
Важно отметить, что это число справедливо для общего случая, когда значения сопротивлений $R_1, R_2, R_3$ различны и не связаны между собой специальными соотношениями (например, $R_3 \neq R_1 + R_2$), которые могли бы привести к случайному совпадению результатов для разных схем.
Ответ: Всего можно получить 17 различных значений сопротивлений. Формулы для расчета всех возможных сопротивлений приведены выше в пронумерованном списке от 1 до 17.