Номер 489, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 489, страница 190.

Условие.

489. Найти разложение бинома:

1) $(2a - 1)^5$

2) $(\frac{1}{2} + 2b)^6$

3) $(3x + \frac{1}{3})^4$

4) $(\frac{y}{3} - 3)^5$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данных задач используется формула бинома Ньютона:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k = C_n^0 x^n + C_n^1 x^{n-1}y + C_n^2 x^{n-2}y^2 + \dots + C_n^n y^n$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

1)

Требуется найти разложение бинома $(2a - 1)^5$.

В данном случае $x = 2a$, $y = -1$ и $n = 5$.

Биномиальные коэффициенты для $n=5$ можно найти с помощью треугольника Паскаля или по формуле. Они равны: $C_5^0=1, C_5^1=5, C_5^2=10, C_5^3=10, C_5^4=5, C_5^5=1$.

Подставляем значения в формулу бинома Ньютона:

$(2a - 1)^5 = C_5^0 (2a)^5 (-1)^0 + C_5^1 (2a)^4 (-1)^1 + C_5^2 (2a)^3 (-1)^2 + C_5^3 (2a)^2 (-1)^3 + C_5^4 (2a)^1 (-1)^4 + C_5^5 (2a)^0 (-1)^5$

Теперь вычислим каждый член разложения:

$= 1 \cdot (32a^5) \cdot 1 + 5 \cdot (16a^4) \cdot (-1) + 10 \cdot (8a^3) \cdot 1 + 10 \cdot (4a^2) \cdot (-1) + 5 \cdot (2a) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-1)$

Упростим полученное выражение:

$= 32a^5 - 80a^4 + 80a^3 - 40a^2 + 10a - 1$

Ответ: $32a^5 - 80a^4 + 80a^3 - 40a^2 + 10a - 1$.

2)

Требуется найти разложение бинома $(\frac{1}{2} + 2b)^6$.

Здесь $x = \frac{1}{2}$, $y = 2b$ и $n = 6$.

Биномиальные коэффициенты для $n=6$: $C_6^0=1, C_6^1=6, C_6^2=15, C_6^3=20, C_6^4=15, C_6^5=6, C_6^6=1$.

Запишем разложение по формуле:

$(\frac{1}{2} + 2b)^6 = C_6^0 (\frac{1}{2})^6 (2b)^0 + C_6^1 (\frac{1}{2})^5 (2b)^1 + C_6^2 (\frac{1}{2})^4 (2b)^2 + C_6^3 (\frac{1}{2})^3 (2b)^3 + C_6^4 (\frac{1}{2})^2 (2b)^4 + C_6^5 (\frac{1}{2})^1 (2b)^5 + C_6^6 (\frac{1}{2})^0 (2b)^6$

Вычислим каждый член:

$= 1 \cdot \frac{1}{64} \cdot 1 + 6 \cdot \frac{1}{32} \cdot 2b + 15 \cdot \frac{1}{16} \cdot 4b^2 + 20 \cdot \frac{1}{8} \cdot 8b^3 + 15 \cdot \frac{1}{4} \cdot 16b^4 + 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 32b^5 + 1 \cdot 1 \cdot 64b^6$

Упростим коэффициенты, выполнив умножение и сокращение:

$= \frac{1}{64} + \frac{12}{32}b + \frac{60}{16}b^2 + \frac{160}{8}b^3 + \frac{240}{4}b^4 + \frac{192}{2}b^5 + 64b^6$

$= \frac{1}{64} + \frac{3}{8}b + \frac{15}{4}b^2 + 20b^3 + 60b^4 + 96b^5 + 64b^6$

Ответ: $\frac{1}{64} + \frac{3}{8}b + \frac{15}{4}b^2 + 20b^3 + 60b^4 + 96b^5 + 64b^6$.

3)

Требуется найти разложение бинома $(3x + \frac{1}{3})^4$.

В этом случае $x$ из формулы — это $3x$, $y$ — это $\frac{1}{3}$, а степень $n=4$.

Биномиальные коэффициенты для $n=4$: $C_4^0=1, C_4^1=4, C_4^2=6, C_4^3=4, C_4^4=1$.

Применяем формулу бинома Ньютона:

$(3x + \frac{1}{3})^4 = C_4^0 (3x)^4 (\frac{1}{3})^0 + C_4^1 (3x)^3 (\frac{1}{3})^1 + C_4^2 (3x)^2 (\frac{1}{3})^2 + C_4^3 (3x)^1 (\frac{1}{3})^3 + C_4^4 (3x)^0 (\frac{1}{3})^4$

Производим вычисления для каждого слагаемого:

$= 1 \cdot 81x^4 \cdot 1 + 4 \cdot 27x^3 \cdot \frac{1}{3} + 6 \cdot 9x^2 \cdot \frac{1}{9} + 4 \cdot 3x \cdot \frac{1}{27} + 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{81}$

Упрощаем полученное выражение:

$= 81x^4 + \frac{108}{3}x^3 + \frac{54}{9}x^2 + \frac{12}{27}x + \frac{1}{81}$

$= 81x^4 + 36x^3 + 6x^2 + \frac{4}{9}x + \frac{1}{81}$

Ответ: $81x^4 + 36x^3 + 6x^2 + \frac{4}{9}x + \frac{1}{81}$.

4)

Требуется найти разложение бинома $(\frac{y}{3} - 3)^5$.

Здесь $x = \frac{y}{3}$, $y = -3$ и $n = 5$.

Биномиальные коэффициенты для $n=5$ нам уже известны: $1, 5, 10, 10, 5, 1$.

Запишем разложение:

$(\frac{y}{3} - 3)^5 = C_5^0 (\frac{y}{3})^5 (-3)^0 + C_5^1 (\frac{y}{3})^4 (-3)^1 + C_5^2 (\frac{y}{3})^3 (-3)^2 + C_5^3 (\frac{y}{3})^2 (-3)^3 + C_5^4 (\frac{y}{3})^1 (-3)^4 + C_5^5 (\frac{y}{3})^0 (-3)^5$

Выполним вычисления:

$= 1 \cdot \frac{y^5}{243} \cdot 1 + 5 \cdot \frac{y^4}{81} \cdot (-3) + 10 \cdot \frac{y^3}{27} \cdot 9 + 10 \cdot \frac{y^2}{9} \cdot (-27) + 5 \cdot \frac{y}{3} \cdot 81 + 1 \cdot 1 \cdot (-243)$

Упростим каждый член разложения:

$= \frac{y^5}{243} - \frac{15}{81}y^4 + \frac{90}{27}y^3 - \frac{270}{9}y^2 + \frac{405}{3}y - 243$

Сократим дроби:

$= \frac{y^5}{243} - \frac{5}{27}y^4 + \frac{10}{3}y^3 - 30y^2 + 135y - 243$

Ответ: $\frac{y^5}{243} - \frac{5}{27}y^4 + \frac{10}{3}y^3 - 30y^2 + 135y - 243$.