Номер 487, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 487, страница 190.

Условие.

487. Сколько различных экзаменационных комиссий, состоящих из 5 членов, можно образовать из 10 преподавателей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

487. Эта задача относится к области комбинаторики. Необходимо найти количество способов сформировать группу из 5 человек из 10 доступных, причем порядок выбора людей в группу не имеет значения. Такая задача решается с помощью формулы для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ (в данном случае из 10 преподавателей по 5 членов комиссии) вычисляется по следующей формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Где:

• $n$ — общее количество элементов, из которых производится выбор (всего преподавателей, $n=10$).
• $k$ — количество элементов, которые нужно выбрать (членов комиссии, $k=5$).

Подставим наши значения в формулу:

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!}$

Теперь выполним вычисления. Для удобства распишем факториалы и проведем сокращение:

$C_{10}^5 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}$

Сократив $5!$ в числителе и знаменателе, получаем:

$C_{10}^5 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Произведем вычисления в числителе и знаменателе:

$C_{10}^5 = \frac{30240}{120} = 252$

Следовательно, существует 252 способа сформировать различные экзаменационные комиссии. Ответ: 252