Номер 480, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 480, страница 189.

Условие.

480. Найти значение выражения, предварительно упростив его:

1) $C_{13}^{10} + C_{13}^{11}$;

2) $C_{14}^{3} + C_{14}^{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для упрощения и вычисления значений данных выражений используется свойство биномиальных коэффициентов, известное как тождество Паскаля: $C_{n}^{k} + C_{n}^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$.

1) $C_{13}^{10} + C_{13}^{11}$

В данном выражении $n=13$ и $k=10$. Применяя тождество Паскаля, получаем:

$C_{13}^{10} + C_{13}^{11} = C_{13+1}^{10+1} = C_{14}^{11}$

Для удобства вычисления воспользуемся свойством симметрии биномиальных коэффициентов: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n-k}$.

$C_{14}^{11} = C_{14}^{14-11} = C_{14}^{3}$

Теперь вычислим значение, используя формулу для числа сочетаний $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{14}^{3} = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14!}{3! \cdot 11!} = \frac{12 \cdot 13 \cdot 14}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 13 \cdot 14 = 364$.

Ответ: 364

2) $C_{14}^{3} + C_{14}^{2}$

Чтобы применить тождество Паскаля, представим выражение в виде $C_{14}^{2} + C_{14}^{3}$. Здесь $n=14$ и $k=2$.

$C_{14}^{2} + C_{14}^{3} = C_{14+1}^{2+1} = C_{15}^{3}$

Вычислим полученное значение:

$C_{15}^{3} = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3! \cdot 12!} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 13 \cdot 7 \cdot 5 = 455$.

Ответ: 455