Номер 482, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 482, страница 190.

Условие.

482. Найти разложение бинома:

1) $(x+1)^6$;

2) $(x-1)^5$;

3) $(2-a)^4$;

4) $(a+3)^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для разложения бинома вида $(a+b)^n$ используется формула бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + \dots + C_n^n a^0 b^n$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты. Эти коэффициенты также можно найти с помощью треугольника Паскаля.

1) Для разложения бинома $(x+1)^6$ имеем: первый член $a=x$, второй член $b=1$ и степень $n=6$.

Биномиальные коэффициенты для $n=6$ равны: $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$.

Подставляем эти значения в формулу разложения:

$(x+1)^6 = 1 \cdot x^6 \cdot 1^0 + 6 \cdot x^5 \cdot 1^1 + 15 \cdot x^4 \cdot 1^2 + 20 \cdot x^3 \cdot 1^3 + 15 \cdot x^2 \cdot 1^4 + 6 \cdot x^1 \cdot 1^5 + 1 \cdot x^0 \cdot 1^6$

Так как любое слагаемое умножается на степень единицы (что равно 1), получаем:

$(x+1)^6 = x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1$

Ответ: $x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1$.

2) Для разложения бинома $(x-1)^5$ имеем: первый член $a=x$, второй член $b=-1$ и степень $n=5$.

Биномиальные коэффициенты для $n=5$: $1, 5, 10, 10, 5, 1$.

Применяем формулу бинома. Поскольку второй член отрицательный ($b=-1$), знаки в разложении будут чередоваться.

$(x-1)^5 = 1 \cdot x^5(-1)^0 + 5 \cdot x^4(-1)^1 + 10 \cdot x^3(-1)^2 + 10 \cdot x^2(-1)^3 + 5 \cdot x^1(-1)^4 + 1 \cdot x^0(-1)^5$

Выполняем вычисления:

$(x-1)^5 = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1$

Ответ: $x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1$.

3) Для разложения бинома $(2-a)^4$ имеем: первый член равен $2$, второй член равен $-a$, а степень $n=4$.

Биномиальные коэффициенты для $n=4$: $1, 4, 6, 4, 1$.

Выполняем разложение, подставляя в формулу степени $2$ и $-a$:

$(2-a)^4 = 1 \cdot 2^4 \cdot (-a)^0 + 4 \cdot 2^3 \cdot (-a)^1 + 6 \cdot 2^2 \cdot (-a)^2 + 4 \cdot 2^1 \cdot (-a)^3 + 1 \cdot 2^0 \cdot (-a)^4$

Вычисляем каждый член разложения:

$(2-a)^4 = 1 \cdot 16 \cdot 1 + 4 \cdot 8 \cdot (-a) + 6 \cdot 4 \cdot a^2 + 4 \cdot 2 \cdot (-a^3) + 1 \cdot 1 \cdot a^4$

$(2-a)^4 = 16 - 32a + 24a^2 - 8a^3 + a^4$

Ответ: $16 - 32a + 24a^2 - 8a^3 + a^4$.

4) Для разложения бинома $(a+3)^4$ имеем: первый член равен $a$, второй член равен $3$, а степень $n=4$.

Биномиальные коэффициенты для $n=4$: $1, 4, 6, 4, 1$.

Выполняем разложение по формуле:

$(a+3)^4 = 1 \cdot a^4 \cdot 3^0 + 4 \cdot a^3 \cdot 3^1 + 6 \cdot a^2 \cdot 3^2 + 4 \cdot a^1 \cdot 3^3 + 1 \cdot a^0 \cdot 3^4$

Вычисляем значения степеней и произведения:

$(a+3)^4 = 1 \cdot a^4 \cdot 1 + 4 \cdot a^3 \cdot 3 + 6 \cdot a^2 \cdot 9 + 4 \cdot a \cdot 27 + 1 \cdot 1 \cdot 81$

$(a+3)^4 = a^4 + 12a^3 + 54a^2 + 108a + 81$

Ответ: $a^4 + 12a^3 + 54a^2 + 108a + 81$.