Номер 488, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 488, страница 190.

Условие.

488. С помощью свойств числа сочетаний найти:

1) $C_{12}^2 + C_{12}^3 + C_{13}^4;$

2) $C_9^3 + C_9^4 + C_{10}^5;$

3) $C_8^4 - C_7^4;$

4) $C_9^3 - C_8^2;$

5) $C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7;$

6) $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_9^9 + C_9^8 + C_9^7 + C_9^6 + C_9^5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $C_{12}^{2} + C_{12}^{3} + C_{13}^{4}$

Для решения воспользуемся свойством сложения числа сочетаний (тождеством Паскаля): $C_{n}^{k} + C_{n}^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$.

Сначала сгруппируем первые два слагаемых: $C_{12}^{2} + C_{12}^{3}$. Применим тождество Паскаля для $n=12$ и $k=2$: $C_{12}^{2} + C_{12}^{3} = C_{12+1}^{2+1} = C_{13}^{3}$.

Теперь исходное выражение принимает вид: $C_{13}^{3} + C_{13}^{4}$. Снова применим тождество Паскаля, теперь для $n=13$ и $k=3$: $C_{13}^{3} + C_{13}^{4} = C_{13+1}^{3+1} = C_{14}^{4}$.

Осталось вычислить значение $C_{14}^{4}$: $C_{14}^{4} = \frac{14!}{4!(14-4)!} = \frac{14!}{4!10!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{24024}{24} = 1001$.

Ответ: 1001

2) $C_{9}^{3} + C_{9}^{4} + C_{10}^{5}$

Как и в предыдущем задании, используем тождество Паскаля: $C_{n}^{k} + C_{n}^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$.

Применим его к первым двум слагаемым $C_{9}^{3} + C_{9}^{4}$, где $n=9$ и $k=3$: $C_{9}^{3} + C_{9}^{4} = C_{9+1}^{3+1} = C_{10}^{4}$.

Выражение примет вид: $C_{10}^{4} + C_{10}^{5}$. Снова применяем тождество Паскаля для $n=10$ и $k=4$: $C_{10}^{4} + C_{10}^{5} = C_{10+1}^{4+1} = C_{11}^{5}$.

Вычислим значение $C_{11}^{5}$: $C_{11}^{5} = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11!}{5!6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{55440}{120} = 462$.

Ответ: 462

3) $C_{8}^{4} - C_{7}^{4}$

Используем следствие из тождества Паскаля. Тождество Паскаля можно записать в виде $C_{n}^{k} = C_{n-1}^{k} + C_{n-1}^{k-1}$. Перенеся одно из слагаемых в левую часть, получим: $C_{n}^{k} - C_{n-1}^{k} = C_{n-1}^{k-1}$.

В нашем выражении $C_{8}^{4} - C_{7}^{4}$ имеем $n=8$ и $k=4$. Применяя формулу, получаем: $C_{8}^{4} - C_{7}^{4} = C_{8-1}^{4-1} = C_{7}^{3}$.

Вычислим значение $C_{7}^{3}$: $C_{7}^{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.

Ответ: 35

4) $C_{9}^{3} - C_{8}^{2}$

Здесь также можно применить следствие из тождества Паскаля. Из тождества $C_{n}^{k} = C_{n-1}^{k} + C_{n-1}^{k-1}$ получим другую формулу: $C_{n}^{k} - C_{n-1}^{k-1} = C_{n-1}^{k}$.

В нашем выражении $C_{9}^{3} - C_{8}^{2}$ имеем $n=9$ и $k=3$. Применяя формулу, получаем: $C_{9}^{3} - C_{8}^{2} = C_{9-1}^{3} = C_{8}^{3}$.

Вычислим значение $C_{8}^{3}$: $C_{8}^{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.

Ответ: 56

5) $C_{7}^{4} + C_{7}^{5} + C_{7}^{6} + C_{7}^{7}$

Для решения воспользуемся свойством суммы всех сочетаний из $n$ элементов, которая равна $2^n$: $\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} = 2^n$, а также свойством симметрии: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n-k}$.

Рассмотрим полную сумму сочетаний для $n=7$: $C_{7}^{0} + C_{7}^{1} + C_{7}^{2} + C_{7}^{3} + C_{7}^{4} + C_{7}^{5} + C_{7}^{6} + C_{7}^{7} = 2^7 = 128$.

Заданная в условии сумма $S = C_{7}^{4} + C_{7}^{5} + C_{7}^{6} + C_{7}^{7}$. Оставшаяся часть полной суммы: $S' = C_{7}^{0} + C_{7}^{1} + C_{7}^{2} + C_{7}^{3}$.

Используя свойство симметрии: $C_{7}^{4} = C_{7}^{7-4} = C_{7}^{3}$, $C_{7}^{5} = C_{7}^{7-5} = C_{7}^{2}$, $C_{7}^{6} = C_{7}^{7-6} = C_{7}^{1}$, $C_{7}^{7} = C_{7}^{7-7} = C_{7}^{0}$.

Следовательно, $S = C_{7}^{3} + C_{7}^{2} + C_{7}^{1} + C_{7}^{0} = S'$. Так как $S+S' = 2^7$ и $S=S'$, то $2S = 2^7$. $2S = 128 \implies S = 64$.

Ответ: 64

6) $C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + C_{5}^{2} + C_{9}^{9} + C_{9}^{8} + C_{9}^{7} + C_{9}^{6} + C_{9}^{5}$

Данное выражение можно разбить на две независимые части. Часть 1: $A = C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + C_{5}^{2}$. Часть 2: $B = C_{9}^{5} + C_{9}^{6} + C_{9}^{7} + C_{9}^{8} + C_{9}^{9}$. Найдем значение всего выражения, вычислив сумму $A+B$.

Вычислим часть А прямым подсчетом: $C_{5}^{0} = 1$; $C_{5}^{1} = 5$; $C_{5}^{2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$. $A = 1 + 5 + 10 = 16$.

Вычислим часть B, используя те же свойства, что и в задании 5. Полная сумма сочетаний для $n=9$ равна $\sum_{k=0}^{9} C_{9}^{k} = 2^9 = 512$.

Сумма B представляет собой сумму "второй половины" сочетаний для $n=9$. Используя свойство симметрии $C_{n}^{k} = C_{n}^{n-k}$, можно показать, что сумма первой половины ($C_9^0$ до $C_9^4$) равна сумме второй половины ($C_9^5$ до $C_9^9$). $B = C_{9}^{5} + C_{9}^{6} + C_{9}^{7} + C_{9}^{8} + C_{9}^{9} = C_{9}^{4} + C_{9}^{3} + C_{9}^{2} + C_{9}^{1} + C_{9}^{0}$.

Следовательно, сумма всех сочетаний для $n=9$ равна $2B$. $2B = \sum_{k=0}^{9} C_{9}^{k} = 2^9 = 512$. Отсюда $B = 512 / 2 = 256$.

Итоговая сумма равна $A + B = 16 + 256 = 272$.

Ответ: 272