Номер 491, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 491, страница 190.

Условие.

491. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 8 защитников и 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестёрку, состоящую из вратаря, двух защитников и трёх нападающих?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной задачи необходимо найти количество способов, которыми можно выбрать игроков на каждую позицию, а затем перемножить полученные значения, так как выбор для каждой позиции является независимым событием. Мы будем использовать формулу для числа сочетаний, поскольку порядок выбора игроков на одну и ту же позицию (например, двух защитников) не имеет значения.

Формула числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Выбор вратаря
Тренер должен выбрать 1 вратаря из 2 имеющихся. Количество способов это сделать:
$C_2^1 = \frac{2!}{1!(2-1)!} = \frac{2}{1} = 2$ способа.

Выбор защитников
Тренер должен выбрать 2 защитников из 8 имеющихся. Количество способов:
$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ способов.

Выбор нападающих
Тренер должен выбрать 3 нападающих из 10 имеющихся. Количество способов:
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ способов.

Общее количество способов
Чтобы найти общее количество способов сформировать стартовую шестёрку, необходимо применить правило произведения и перемножить количество способов выбора для каждой позиции:
$N = C_2^1 \times C_8^2 \times C_{10}^3 = 2 \times 28 \times 120 = 56 \times 120 = 6720$ способов.

Ответ: 6720.