Номер 495, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 495, страница 191.

Условие.

495. По $m$ единицам пространства распределяются $N$ различных частиц газа. Каждая частица может занять место в любой единице пространства, независимо от остальных частиц. И в каждой единице пространства может оказаться любое число частиц. Найти число всевозможных распределений частиц по данным единицам пространства.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи воспользуемся методами комбинаторики. У нас есть $N$ различных частиц и $m$ единиц пространства, в которые эти частицы нужно распределить.

Рассмотрим каждую частицу по отдельности. Поскольку частицы различимы, мы можем их пронумеровать от 1 до $N$.

Возьмем первую частицу. По условию, она может занять место в любой из $m$ единиц пространства. Следовательно, для первой частицы существует $m$ возможных вариантов размещения.

Возьмем вторую частицу. Ее размещение не зависит от размещения первой частицы, и она также может попасть в любую из $m$ единиц пространства. Таким образом, для второй частицы также существует $m$ вариантов размещения.

Продолжая этот процесс для всех $N$ частиц, мы обнаружим, что для каждой из $N$ частиц существует $m$ независимых вариантов размещения.

Чтобы найти общее число всевозможных распределений, мы должны перемножить число вариантов для каждой частицы. Это следует из основного правила комбинаторики — правила произведения.

Общее число распределений будет равно произведению $m$ на себя $N$ раз:

$ \underbrace{m \cdot m \cdot m \cdot \ldots \cdot m}_{N \text{ раз}} $

Это произведение равно $m$ в степени $N$.

Такой тип соединений в комбинаторике называется размещениями с повторениями. Число размещений с повторениями из $m$ элементов по $N$ вычисляется по формуле $\bar{A}_m^N = m^N$. В данном случае мы как бы выбираем для каждой из $N$ различных частиц одну из $m$ единиц пространства, причем выбор может повторяться (несколько частиц могут оказаться в одной и той же единице пространства).

Таким образом, общее число всевозможных распределений $N$ различных частиц по $m$ единицам пространства равно $m^N$.

Ответ: $m^N$