Номер 499, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 499, страница 191.

Условие.

499. В чемпионате страны по футболу участвуют 18 команд, каждые 2 команды встречаются на футбольных полях 2 раза. Сколько матчей играется в сезоне?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для определения общего количества матчей в сезоне можно использовать два логических подхода.

Подход 1: Использование комбинаторики

Сначала необходимо вычислить, сколько уникальных пар команд можно составить из 18 участников. Так как для одного матча требуется 2 команды, и порядок команд в паре не имеет значения (матч "Команда А vs Команда Б" — это та же пара, что и "Команда Б vs Команда А"), мы можем использовать формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$.

Формула числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество команд ($n=18$), а $k$ — количество команд в одном матче ($k=2$).

Вычислим количество уникальных пар:

$C_{18}^2 = \frac{18!}{2!(18-2)!} = \frac{18!}{2! \cdot 16!} = \frac{16! \cdot 17 \cdot 18}{2 \cdot 1 \cdot 16!} = \frac{17 \cdot 18}{2} = 17 \cdot 9 = 153$

Таким образом, существует 153 уникальные пары команд. Согласно условию, каждая пара играет друг с другом 2 раза. Чтобы найти общее количество матчей, нужно умножить количество пар на 2:

$153 \times 2 = 306$

Подход 2: Логические рассуждения

Рассмотрим любую одну команду. Она должна сыграть с каждой из оставшихся 17 команд. Поскольку по условию каждая команда встречается с каждой другой 2 раза, то одна команда за сезон проведет:

$17 \text{ (соперников)} \times 2 \text{ (матча)} = 34 \text{ матча}$

Всего в чемпионате 18 команд. Если мы умножим количество матчей одной команды на общее количество команд, мы получим $18 \times 34 = 612$. Однако при таком подсчете каждый матч учитывается дважды: один раз для "хозяев" и один раз для "гостей". Например, матч "Команда А vs Команда Б" будет посчитан в общем числе матчей для команды А и в общем числе матчей для команды Б.

Поэтому для получения итогового числа матчей в сезоне результат необходимо разделить на 2:

$\frac{18 \times 34}{2} = \frac{612}{2} = 306$

Оба подхода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 306