Номер 501, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 501, страница 191.

Условие.

501. Сколькими способами можно разделить колоду из 36 карт пополам так, чтобы в каждой из двух стопок было по 2 туза?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторные методы. Нам нужно разделить колоду из 36 карт на две равные стопки по 18 карт. Основное условие — в каждой стопке должно быть ровно 2 туза.

Сначала проанализируем состав колоды: в ней 4 туза и $36 - 4 = 32$ другие карты.

Решение задачи можно разбить на несколько шагов.

Шаг 1: Распределение тузов

Нам нужно выбрать 2 туза из 4 имеющихся для первой стопки. Порядок выбора карт не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Количество способов выбрать 2 туза из 4 равно:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

После того как мы выбрали 2 туза для первой стопки, оставшиеся 2 туза автоматически отправляются во вторую стопку.

Шаг 2: Распределение остальных карт

Каждая стопка должна состоять из 18 карт. Поскольку мы уже положили в первую стопку 2 туза, нам нужно добавить к ним еще $18 - 2 = 16$ карт. Эти 16 карт мы должны выбрать из 32 карт, не являющихся тузами.

Количество способов выбрать 16 карт из 32 равно:

$C_{32}^{16} = \frac{32!}{16!(32-16)!} = \frac{32!}{16!16!}$

Оставшиеся $32 - 16 = 16$ карт автоматически попадут во вторую стопку.

Шаг 3: Объединение результатов и учет неразличимости стопок

Чтобы найти общее количество способов сформировать первую стопку, мы перемножаем количество способов выбора тузов и количество способов выбора остальных карт:

$N_{стопка1} = C_4^2 \times C_{32}^{16}$

Однако в задаче стопки неразличимы. Разделить колоду на стопку А и стопку Б — это то же самое, что разделить ее на стопку Б и стопку А. Наш метод подсчета учел эти два случая как разные. Например, выбрав набор карт X для первой стопки (оставляя набор Y для второй), мы получили один способ. Но наш подсчет также включает случай, когда мы формируем первую стопку из набора Y (оставляя набор X). Это одно и то же разделение колоды, которое мы посчитали дважды. Поэтому результат нужно разделить на 2.

Итоговое количество способов равно:

$N = \frac{C_4^2 \times C_{32}^{16}}{2}$

Итоговый расчет

Подставим числовые значения в формулу:

$N = \frac{6 \times C_{32}^{16}}{2} = 3 \times C_{32}^{16}$

Теперь вычислим значение $C_{32}^{16}$:

$C_{32}^{16} = 601 \, 080 \, 390$

Тогда общее количество способов:

$N = 3 \times 601 \, 080 \, 390 = 1 \, 803 \, 241 \, 170$

Ответ: $3 \times C_{32}^{16} = 1 \, 803 \, 241 \, 170$ способов.