Номер 507, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 507, страница 191.

507. Найти значение выражения:

1) $\overline{P_{2,2,4}} : \overline{C_3^5};$

2) $\overline{A_5^2} + \overline{C_6^3} : \overline{P_{3,5}}.$

1) $\bar{P}_{2,2,4} : \bar{C}_{3}^{5}$

Для решения данной задачи необходимо вычислить значение каждого члена выражения по отдельности, а затем выполнить деление.

Первый член выражения, $\bar{P}_{2,2,4}$, представляет собой число перестановок с повторениями. Общее количество элементов $n = 2 + 2 + 4 = 8$. Формула для вычисления перестановок с повторениями:

$\bar{P}_{n_1, n_2, \dots, n_k} = \frac{(n_1 + n_2 + \dots + n_k)!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \dots \cdot n_k!}$

Подставляем наши значения:

$\bar{P}_{2,2,4} = \frac{8!}{2! \cdot 2! \cdot 4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4} = 2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 420$.

Второй член выражения, $\bar{C}_{3}^{5}$, — это число сочетаний с повторениями из $n=3$ элементов по $k=5$. Формула для вычисления сочетаний с повторениями:

$\bar{C}_{n}^{k} = C_{n+k-1}^{k} = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$

Подставляем наши значения ($n=3, k=5$):

$\bar{C}_{3}^{5} = C_{3+5-1}^{5} = C_{7}^{5} = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 7}{2} = 21$.

Теперь выполним деление:

$\bar{P}_{2,2,4} : \bar{C}_{3}^{5} = 420 : 21 = 20$.

Ответ: 20.

2) $\bar{A}_{5}^{2} + \bar{C}_{6}^{3} : \bar{P}_{3,5}$

Для нахождения значения выражения сначала вычислим каждый его компонент, а затем выполним действия в соответствии с порядком их выполнения (сначала деление, потом сложение).

Первый компонент, $\bar{A}_{5}^{2}$, — это число размещений с повторениями из $n=5$ элементов по $k=2$. Формула для вычисления:

$\bar{A}_{n}^{k} = n^k$

Подставляем наши значения:

$\bar{A}_{5}^{2} = 5^2 = 25$.

Второй компонент, $\bar{C}_{6}^{3}$, — это число сочетаний с повторениями из $n=6$ элементов по $k=3$. Формула:

$\bar{C}_{n}^{k} = C_{n+k-1}^{k}$

Подставляем наши значения ($n=6, k=3$):

$\bar{C}_{6}^{3} = C_{6+3-1}^{3} = C_{8}^{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$.

Третий компонент, $\bar{P}_{3,5}$, — это число перестановок с повторениями. Общее количество элементов $n = 3+5=8$. Формула:

$\bar{P}_{n_1, n_2} = \frac{(n_1+n_2)!}{n_1! \cdot n_2!}$

Подставляем наши значения:

$\bar{P}_{3,5} = \frac{(3+5)!}{3! \cdot 5!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$.

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение и выполним действия:

$\bar{A}_{5}^{2} + \bar{C}_{6}^{3} : \bar{P}_{3,5} = 25 + 56 : 56 = 25 + 1 = 26$.

Ответ: 26.